§ 9.8. Сопряженное семейство для мультиномиальных наблюдений

Следующая теорема показывает, что семейство распределений Дирихле есть сопряженное семейство для наблюдений, имеющих мультиномиальное распределение.

Теорема 1. Пусть случайный вектор имеет мультиномиальное распределение с параметрами где известное целое число, а компоненты вектора неизвестны. Допустим, далее, что априорное распределение есть распределение Дирихле с параметрическим вектором Тогда апостериорное распределение тгри есть распределение Дирихле с параметрическим вектором

Доказательство. Пусть обозначает множество точек таких, что Тогда для произвольного значения параметра функция правдоподобия имеет вид:

Далее, для априорная п. p. в. W удовлетворяет соотношению

Поэтому при апостериорная п. р. в. параметра должна удовлетворять условию

Функция в правой части соотношения (3) пропорциональна п. р. в. распределения Дирихле, параметрический вектор которого указан в формулировке теоремы.

В качестве примера предположим, что в некой большой партии изделий есть изделия к различных типов. Для к пусть обозначает долю изделий типа. Предположим, что априорное распределение вектора есть распределение Дирихле с параметрическим вектором Пусть наудачу выбирается из партии по одному изделию. Из теоремы 1 следует, что апостериорное распределение на каждом шаге выборки будет распределением Дирихле, причем компонента параметрического вектора возрастает на 1 каждый раз, как извлечено изделие типа