§ 12.11. Области продолжения и окончания выбора

Оптимальную процедуру последовательного решения из предыдущего параграфа можно задать следующим образом. Пусть обозначает распределение параметра на данном шаге процесса выбора. Перед началом этого процесса Очередное наблюдение стоит проводить в том и только в том случае, когда найдется некоторая процедура последовательного решения риск которой меньше риска от немедленного принятия решения. Выбор надо закончить тогда и только тогда, когда Для каждой процедуры

На каждом шаге процесса выбора в конкретной задаче статистик, как правило, может вычислить риск лишь для некоторых процедур последовательного решения специального вида. Например, он может быть в состоянии вычислить риск процедур с фиксированным числом наблюдений и последующим принятием решения из Или же ему может быть известен риск одной процедуры при которой проводится ровно одно наблюдение и затем выбирается решение из Обозначим в данной задаче через А 0 класс всех процедур риск которых статистик в состоянии вычислить. Предположим, что статистик пользуется процедурой, обозначаемой нами через при которой очередное наблюдение проводится тогда и только тогда, когда существует процедура из класса со свойством Тогда следующее наблюдение проводится только в том случае, когда это следует делать согласно оптимальной процедуре. С другой стороны, выбор может закончиться раньше, чем его следовало бы закончить в соответствии с оптимальной процедурой. Таким образом, процедура задает «границу изнутри» для области продолжения при оптимальной процедуре Более точно, согласно первое наблюдение стоит проводить только тогда, когда это наблюдение проводилось бы и при оптимальной процедуре Далее, при

Для того чтобы проиллюстрировать эти соображения, рассмотрим опять задачу, описанную в § 11.9 и примере 4 § 12.6.

ПРИМЕР. При нормально распределенных наблюдениях с неизвестным средним и заданной мерой точности статистик

должен решить, или же При этом функция потерь, дается формулой (1) § 11.8, а цена каждого наблюдения равна с.

Пусть означает процедуру, предписывающую) проведение ровно одного наблюдения и затем принятие решения из Если распределение параметра нормальное со средним и мерой точности то риск процедуры может быть получен прибавлением цены наблюдения с к выражению (18) § 12.6.

Рис. 12.2. Границы для оптимальной процедуры последовательного решения.

Риск от немедленного принятия решения без наблюдений имеет вид (16) § 12.6. Следовательно, тогда и только тогда, когда выполнено неравенство (19) § 12.6. Таким образом, на каждом шаге процесса выбора, на котором среднее и мера точности распределения удовлетворяют неравенству (19) § 12.6, оптимальным является проведение очередного наблюдения. Эти точки отмечены на рис. 12.2 в виде области -плоскости, в которой следует продолжать выбор. Границей этой области является множество для которых в соотношении (19) § 12.6 имеет место знак равенства. Граница симметрична относительно прямой кроме того, из свойств функции

может быть выведена выпуклость верхней половины границы. Так как то из соотношения (19) § 12.6 следует, что в точке пересечения границы с прямой координата удовлетворяет условию

Это значение на рис. 12.2 обозначено через

Если то оптимальным будет окончить выбор, поскольку плата за наблюдение превосходит риск от немедленного принятия решения. Множество точек для которых отмечено на рис. 12.2 как область окончания выбора. Исходя из формулы (16) § 12.6, можно показать, что граница этой области также выпукла в своей верхней части и симметрична. Она пересекает прямую при Это значение на рис. 12.2 обозначено через Вид оптимальной процедуры яеизвестен, таким образом, лишь для точек лежащих между этими двумя границами.

Если бы на -плоскости области продолжения и окончания выбора для оптимальной процедуры были известны точно, то процедуру можно было бы описать следующим образом. Пусть соответственно среднее и мера точности априорного распределения для среднее и мера точности апостериорного распределения для на данном шаге процесса выбора. Если точка то) лежит в области продолжения выбора, то надо делать первое наблюдение. В противном случае наблюдение проводить не стоит. Вообще, если точка лежит в области продолжения выбора, целесообразно проводить очередное наблюдение. Если нет, то дальнейшие наблюдения не нужны.

Для каждого дополнительного наблюдения изменение среднего зависит от наблюденного значения, а мера точности независимо от него возрастает на Таким образом, мы видим, что если исходить из точки то расстояние по горизонтали между последовательными точками всегда равно в то время как расстояние по вертикали флюктуирует. Пусть наименьшее значение для которого Из рис. 12.2 видно, что выбор надо закончить самое большее после наблюдений. Таким образом, для любой априорной меры точности это условие дает оценку сверху для числа наблюдений, проводимых согласно оптимальной процедуре.