§ 7.9. Проверка свойств функции полезности

В этом параграфе будут сделаны два дальнейших предположения, гарантирующих выполнение для функции свойства приведенного в начале § 7.7. В этом свойстве фигурируют математические ожидания для всех распределений в, и наше первое предположение обеспечивает измеримость функции относительно -алгебры А подмножеств множества Это свойство измеримости необходимо для того, чтобы имело смысл для всех Второе предположение, которое мы сделаем, будет гарантировать выполнение некоторых простых соотношений эквивалентности для

Измеримость. В § 7.2 было предположено, что если - два дохода из R, таких, что к то и интервал Сейчас мы сделаем более сильное

Предположение Для любых трех доходов из R и любых двух чисел имеет место соотношение

Лемма 1. Функция измерима относительно А.

Доказательство. Нам надо показать, что для любого вещественного х

Предположим сначала, что Если для некоторого дохода то Следовательно, из соотношений (2) и и леммы 3 § 7.7 мы видим, что тогда и только тогда, когда

Но в силу предположения множество доходов удовлетворяющих (3), принадлежит А, и тем самым (2) верно.

Пусть верно Тогда в том и только в том случае, когда

и соотношение (2) справедливо по предположению

Пусть, наконец, Тогда в силу формул (5) и (7) § 7.8 соотношения и

равносильны и из предположения следует справедливость соотношения (2).

Отношения эквивалентности для финитных распределений. Пусть два дохода из R, для которых интервал, определяемый формулой (2) § 7.2. В силу теоремы 1 § 7.7 для любого дохода найдется число такое, что

Фактически для можно указать явный вид. По теореме 1 § 7.8.

и, значит,

Вводимое нами теперь предположение может быть пояснено следующим образом. Рассмотрим произвольное распределение для которого Поскольку каждый доход эквивалентен лотерее, в которой выигрыш случается с вероятностью и выигрыш с вероятностью то само эквивалентно лотерее с выигрышами или получаемыми с некоторыми вероятностями. В самом деле, рассмотрим двухшаговую лотерею, в которой сначала, согласно распределению на интервале извлекается лотерея вида а затем по этой лотерее извлекается один из выигрышей или Полная вероятность получения дохода в этой составной лотерее равна

Вероятность же получения дохода равна Отметим, что интеграл в (9) существует, так как, согласно (8), функция линейно зависит от измеримой функции значит, ее значения на интервале ограничены.

Предположение Пусть любое распределение, для которого некоторых доходах Для любого дохода пусть определено соотношением (6), а значение формулой (9). Тогда

Из соотношений (8) и (9) видно, что условие эквивалентности из предположения можно записать в виде

Мы в состоянии теперь доказать два основных результата. Наша первая теорема утверждает, что функция удовлетворяет

буемому свойству Согласно второй теореме, все функции удовлетворяющие этому свойству, являются возрастающими линейными функциями от

Теорема 1. Пусть два распределения из класса Тогда соотношения равносильны.

Доказательство. Поскольку распределения и финитны, то найдутся доходы для которых и

Следовательно, как так и эквивалентны распределениям вида (10). Теперь из леммы 3 § 7.7 следует, что тогда и только тогда, когда

Теорема 2. Предположим, чттго вещественные функции на R, каждая из которых обладает свойством, указанным в теореме 1. Тогда найдутся постоянные такие, при всех

Доказательство. Так как то из предположенных свойств функций вытекает, что Поэтому существует линейное преобразование указанного в теореме вида, после применения которого к функции совпадут в точках . Таким образом, достаточно установить, что равенство справедливо при всех если

Рассмотрим сначала произвольный доход такой, ччто Тогда найдется число для которого . В силу свойств функций получаем следующее равенство:

Рассмотрим, далее, любой доход для которого Тогда найдется число такое, что Аналогичные вычисления дают

Наконец, если то равенство выводится аналогично.

Ограниченные функции полезности. При других аксиоматических подходах к теории полезности (см. ссылки в конце § 7.10) делаются предположения, в некоторых отношениях более сильные, нежели наши. Из этих усиленных предположений следует, что функция полезности ограничена на множестве

В частности, при этих подходах предполагается, что соотношение к задает полное упорядочение всех распределений из Так как функция полезности оказывается ограниченной, то математическое ожидание конечно для любого распределения Следовательно, для любых двух распределений соотношения равносильны.

В этой главе мы не придерживались подхода, приводящего к ограниченным функциям полезности, по той причине, что во многих статистических задачах принято и чрезвычайно удобно работать с неограниченными функциями полезности. Например, в большом числе задач, некоторые из которых будут рассмотрены в книге дальше, в качестве множества R удобно брать вещественную прямую, а в качестве функции полезности — линейную или квадратическую функцию.

Пока что в этой главе были выведены свойства функции лишь для распределений из класса Часто, однако, приходится вычислять среднюю полезность для нефинитных распределений . В следующем параграфе мы распространим основное свойство функции на класс всех распределений для которых конечно.

Важно отметить, что если множество R содержит как наиболее предпочитаемый, так и наименее предпочитаемый доходы, то каждое распределение из финитно и теория, развиваемая в следующем параграфе, не нужна. Даже если наше множество R не содержит наиболее предпочитаемого или наименее предпочитаемого дохода, то возможно иногда присоединить к R фиктивные доходы, которые служат той же цели. Трудность состоит в том, чтобы присоединить такие доходы, не нарушив сделанных предположений. Для того чтобы быть уверенными, что ни одно из предположений не нарушено, мы должны приписать конечную полезность наиболее предпочитаемому и наименее предпочитаемому доходам. Другими словами, для выполнения этого требования функция полезности должна быть ограничена на множестве Однако, как мы уже упоминали, функция может быть и неограничена. В таких задачах необходим переход к нефинитным распределениям, который и развивается в § 7.10.