§ 9.7. Выборка из равномерного распределения

В этом параграфе мы опишем сопряженные семейства распределений для выборок из равномерного распределения с неизвестными значениями одной или обеих крайних точек.

Теорема 1. Пусть повторная выборка из равномерного распределения на интервале где значение неизвестно. Предположим, что априорное распределение есть распределение Парето с параметрами Тогда апостериорное распределение есть распределение Парето с параметрами где

Доказательство. При априорная п. р. в. параметра имеет следующий вид:

Далее, при Функция правдоподобия задается равенством (13) из § 9.1. Отсюда следует, что апостериорная п. р. в. параметра будет положительна лишь для таких значений для которых Поэтому только если где определено формулой (1). Далее, при

Из соотношения (3) видно, что апостериорное распределение должно быть распределением Парето со значениями параметров, указанными в формулировке теоремы.

В следующей теореме мы рассматриваем равномерное распределение на интервале, оба конца которого неизвестны. Доказать эту теорему предлагается читателю (см. упр. 32).

Теорема 2. Пусть повторная выборка из равномерного распределения на интервале где значения неизвестны, и пусть априорное совместное распределение есть двустороннее двумерное распределение Парето с параметрами где Тогда

стериорное совместное распределение при есть двустороннее двумерное распределение Парето с параметрами где

Рассмотрим теперь числовой пример, показывающий, как применяется теорема 2. Допустим, что некоторая частица проходит через сосуд с водой и горизонтальное отклонение частицы, измеряемое в соответствующих единицах, равномерно распределено на интервале где значения неизвестны. Допустим, далее, что Если даже оценки такого рода неизвестны статистику заранее, то они заведома могут быть указаны после того, как наблюдены горизонтальные отклонения хотя бы двух частиц . В самом деле, поскольку должны лежать в интервале то (пусть, скажем

Допустим, далее, что статистик хочет выбрать двустороннее двумерное распределение Парето в качестве априорного распределения согласно его прогнозу, длина интервала должна составлять приблизительно 2,5. Какие значения параметров а априорного распределения следуег выбрать? Из найденных ранее оценок для вытекает, что можно взять Из равенства (2) § 5.7 следует, что при а

Если предположить, что то Задание этого значения завершает определение априорного распределения.

Предположим теперь, что наблюдаются отклонения пяти частиц со значениями —0,27, —0,45, —0,36, —0,12 и 0,47. Поскольку минимум этих пяти значений есть —0,45, а максимум 0,47, то по теореме 2 значения параметров и а апостериорного распределения равны Мы знаем теперь, что . В силу соотношения (5) средняя длина равна теперь 1,25.

Далее, предположим, что найдены отклонения еще пяти частиц, равные соответственно —0,39, —0,07, 0,43, 0,01 и —0,14. Параметрами и нового апостериорного распределения будут Поэтому, согласно соотношению (5), имеем

Поскольку интервал длины 0,92 весь содержится в интервале а средняя длина интервала есть 1,10, статистик имеет теперь сравнительно точную информацию о значениях . В самом деле, из равенства (3) § 5.7 следует что дисперсии имеют теперь общее значение 0,0093.