§ 4.7. Нормальное распределение

Случайная величина X имеет нормальное распределение со средним и дисперсией если распределение X абсолютно непрерывно с п. р. в.

Здесь мы используем стандартное обозначение

принятое как для вещественных, так и для комплексных v.

Имеется знаменитая теорема, относящаяся к классу так называемых центральных предельных теорем, согласно которой если последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с положительными дисперсиями, то предельное распределение нормированной надлежащим образом суммы является нормальным. Более того, известно, что при некоторых условиях предельное распределение указанной суммы остается нормальным, даже если случайные величины зависимы и неодинаково распределены. Возможно, именно этими теоремами объясняется тот факт, что, как было обнаружено приближенно, нормальные законы образуют чрезвычайно широкий класс эмпирических распределений, практически во всех областях исследований. Поэтому при построении вероятностной модели для данной задачи часто предполагают, что распределение каждой наблюдаемой величины приближенно нормально. В связи с этим статистические методы, разработанные для нормально распределенных случайных величин, оказываются очень важными.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону с п. р. в. (1), то (упр. 15)

Можно показать, что всякая линейная комбинация нормально распределенных случайных величин сама подчиняется нормальному закону. Пусть, в частности, случайные величины независимы и имеет нормальное распределение со средним и дисперсией Если и постоянные, причем хотя бы для одного значения то случайная величина нормально распределена со средним и дисперсией (упр. 16).

Нормальное распределение со средним 0 и дисперсией 1 называется стандартным нормальным распределением. П. р. в. и ф. р. этого распределения обозначаются через и соответственно. Таким образом, при всех

и

Мера точности нормального закона определяется как величина, обратная к дисперсии, т. е.

Часто в дальнейшем нам будет более удобно пользоваться не средним и дисперсией нормального закона, а средним и мерой точности. Таким образом, если X — нормально распределенная случайная величина со средним и мерой точности то п. р. в. имеет при всех вид

Как хорошо известно, дисперсия нормального закона является характеристикой рассеивания вокруг среднего значения. Поэтому мера точности характеризует концентрацию распределения вокруг математического ожидания. Ясно, что все приведенные в этом параграфе результаты могут быть переформулирована в терминах указанных новых параметров. Так, например, если случайная величина X нормально распределена с мерой точности то для любых постоянных где а случайная величина бинормально распределена с мерой точности