§ 12.15. Характеристики последовательных критериев отношения вероятностей

Мы займемся здесь вычислением вероятностей принятия решения или и расчетом средней стоимости выбора для последовательной процедуры, определенной посредством соотношения (11) § 12.14. Хотя в большинстве задач точные значения вероятностей принятия решения или найти и не удается, существуют простые приближенные формулы. Из соотношения (11) § 12.14 видно, что для каждой последовательности наблюденных значений приводящей к решению выполнено соотношение

Другими словами, совместная о. в. п. наблюдений при условии не может превосходить более чем в А раз соответствующее значение о. в. п. при Поскольку это верно для каждой последовательности, ведущей к принятию решения то

Аналогично из того же соотношения (11) § 12.14 следует, что для каждой последовательности наблюденных значений приводящей к выбору решения должно иметь место неравенство

откуда вытекает, что

В теореме 1 ниже будет показано, что вероятность бесконечного выбора без принятия решения или для каждого последовательного критерия отношения вероятностей равна нулю. Следовательно, при

Это сротношение в совокупности с соотношениями (2) и (4) показывает, что точка с координатами лежит в области, заштрихованной на рис. 12.4.

Если заключительное значение отношения правдоподобия в соотношении (11) § 12.14, приводящее к принятию решения близко к нижней границе А, то обе части неравенства (2) приближенно равны.

Рис. 12.4. Границы для

Точно также приближенно равны и обе части неравенства (4) при условии, что окончательное значение указанного отношения перед принятием решения близко к верхней границе В. Следовательно, можно рассматривать (2) и (4) как приближенные равенства, что дает

Эти приближенные значения для являются координатами точки на рис. 12.4.

Определим при случайную величину формулой

Если положить то, согласно последовательному критерию отношения вероятностей,

задаваемому соотношением (11) § 12.14, выбор надо продолжать при выполнении неравенства

При каждом фиксированном значении случайные величины независимы и одинаково распределены» Следовательно, этими же свойствами обладают и случайные величины Следующий результат [Стейн (1946)} показывает, что для любых заданных значений процесс выбора заканчивается с вероятностью 1 и конечны все моменты распределения случайного числа наблюдений Предположение следующей теоремы о том, что служит лишь для исключения тривиальной ситуации, когда о. в. п. равны.

Теорема 1. Пусть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, для которых Рассмотрим последовательную процедуру, при которой наблюдается значение и затем выбор продолжается, если для наблюденных к настоящему моменту значений имеет место соотношение (8); выбор заканчивается, как только соотношение (8) нарушается. Тогда для

Доказательство. Если то при некотором а и искомый результат тривиален. Предположим поэтому, что и пусть фиксированное натуральное число. Зададим последовательность случайных величин следующим образом:

Если при некотором то, прибавляя это значение к произвольному значению суммы лежащему в интервале видим, что сумма будет лежать вне этого интервала. В этом случае Другими словами, если то а при Отсюда выводим, что

Так как то за счет надлежащего выбора мы можем уделать сколь угодно большой. Следовательно,

можно выбрать настолько большим, чтобы где — некоторое заданное число, меньшее 1. Из соотношения (10) вытекает, что при

Но тогда

Далее, из (11) видно, что при

Последнее равенство в этом соотношении справедливо при т. е. когда

Так как

В силу конечности производящей функции моментов в некоторой окрестности точки получаем (см. § 3.6), что все моменты величины конечны.