§ 11.7. Проверка гипотез о среднем значении нормального распределения с неизвестной мерой точности

Рассмотрим теперь нормальное распределение, для которого среднее и мера точности R неизвестны.

Рис. 11.2. Параметрическое пространство

Предположим, что надо проверить нулевую гипотезу состоящую в том, что против альтернативной гипотезы согласно которой этой задаче параметрическое пространство есть множество всех точек таких, что Подмножество выделяемое гипотезой Ни есть прямая Подмножество определяемое гипотезой состоит из всех остальных точек (см. рис. 11.2).

Поскольку Q - прямая в двумерном пространстве , отвечающая ей вероятность равна 0 при любой совместной п. р. в. случайных величин на Поэтому, для того чтобы применение априорных распределений в этой задаче имело смысл, следует с самого начала приписать множеству положительную вероятность Распределение этой вероятности на может быть описано в терминах условной п. р. в. меры точности R на этой прямой. Оставшаяся вероятность распределена на соответственно некоторой совместной случайных величин Другими словами, априорное совместное распределение задается следующими тремя условиями:

2. Условная п. р. в. для R при есть

3. Условная совместная п. р. в. для при есть

Если повторная выборка из нормального распределения со средним и мерой точности R, то апостериорные вероятности множеств при удовлетворяют соотношению

Для дальнейшего допустим, что при условное распределение для R есть гамма-распределение с параметрами Предположим также, что при условное совместное распределение для есть совместное нормальное гамма-распределение из теоремы 1 § 9.6. Это совместное нормальное гамма-распределение описывается следующим образом. При условное распределение случайной величины нормальное со средним и мерой точности имеет гамма-распределение с параметрами

Как условное распределение случайной величины R при так и условное распределение R при суть гамма-распределения. Для простоты допустим, что эти два гамма-распределения имеют одни и те же параметры Это предположение естественно, если статистик приписывает R одно и то же априорное распределение независимо от правильности или неправильности нулевой гипотезы. Если в (1) выполнить интегрирование и упростить получающееся выражение, то получим следующее

соотношение (см. упр. 18):

Если среднее априорного распределения при альтернативной гипотезе равно то выражение в правой части (2) допускает дальнейшее упрощение. В частности, если что можно интерпретировать как нечеткость априорных сведений относительно то значение дроби в фигурных скобках будет зависеть только от статистики и На этой статистике базируются традиционные статистические критерии гипотезы основанные на -распределении.

Рассмотрим теперь апостериорное распределение для В этом апостериорном распределении, как и в априорном распределении, условное распределение при условное распределение при будут гамма-распределениями. Вид апостериорного гамма-распределения при можно получить, исходя из теоремы 2 § 9.5. Вид же апостериорного гамма-распределения при можно найти с помощью теоремы 1 § 9.6. Мы предполагали, что оба априорных гамма-распределения при имеют одни и те же параметры Из упомянутых только что двух теорем можно заключить, что апостериорные гамма-распределения, о которых говорилось выше, имеют различные параметры.

Пусть в рассматриваемой задаче обозначает ущерб, имеющий место в случае, когда и принимается гипотеза Обычно предполагается, что этот ущерб можно задать так:

Здесь Допустим, что и при совместное распределение есть нормальное гамма-распределение, описанное в этом параграфе выше. Тогда риск

от принятия решения имеет следующий вид:

Далее, риск от принятия решения есть Отсюда видно, что байесовское решение совпадает с или с в зависимости от того, какое из чисел или меньше.

Априорные распределения типа описанного в настоящем параграфе изучались Джеффрисом (1961), гл. 5 и 6, и Линдли (1961b),