§ 14.8. Задачи оптимального управления запасами

Перейдем теперь к рассмотрению задач оптимального управления запасами. Предположим, что статистик заказывает у поставщика некоторое количество товара, которое он потом продает. При этом считается, что он может заказать произвольное количество товара, единица которого стоит с долларов, и продать этот товар по цене долларов за единицу, Пусть, однако, спрос на товар является случайной величиной и статистик теряет стоимость той части товара, которую ему не удалось продать. Итак, если статистик в какой-то момент закажет слишком мало товара, то он потеряет потенциальную прибыль, поскольку не сможет удовлетворить полный спрос на этот продукт, и вынужден будет отказаться от ряда сделок. С другой стороны, если он закажет слишком большое количество товара, то он потеряет стоимость той части, которую ему не удастся реализовать. Задача такого типа с ровно одним шагом рассматривалась в упр. 13 к гл. 7. Задача определения оптимальной процедуры при последовательном заказе более сложна.

Мы рассмотрим процесс с фиксированным числом шагов и предположим, что в начале каждого шага статистик может заказать любое число единиц товара общей стоимостью долларов. Эти единиц товара добавляются к тому количеству, которое могло остаться непроданным на предыдущих шагах процесса. Обозначим через у общее число единиц товара, которое имеется у статистика после добавления единиц. Затем наблюдается спрос х на данном шаге. Если то статистик может удовлетворить всю потребность в товаре из своего запаса. Следовательно, он продаст в этом случае х единиц. Если же то статистик продаст весь свой товар у. В обоих случаях пусть обозначает число единиц товара, проданных статистиком на этом шаге. Доход от продажи, без учета затрат, равен есть число оставшихся единиц товара или уровень запаса в начале следующего шага.

Предположим для простоты, что товар может измеряться сколь угодно малыми количествами, так что может быть произвольным положительным числом. Далее, допустим, что спрос на товар на каждом шаге имеет абсолютно непрерывное распределение с некоторой п. р. в.

Пусть спрос на шаге Мы предположим, что независимые одинаково распределенные положительные случайные величины и каждая из них имеет п. р. в. с конечным средним. Пусть число единиц товара, заказываемых в начале шага число единиц товара, продаваемых на этом шаге. Задача состоит в определении последовательной процедуры, максимизирующей среднюю прибыль статистика. Эту среднюю прибыль можно записать в виде

Пусть у обозначает число единиц товара, имеющегося в запасе, перед тем как статистик заказывает товар на первом шаге. Для всякого и всякого натурального числа обозначим череэ значение средней прибыли (1) для оптимальной процедуры в -шаговом процессе. Предположим, что на первом шаге статистик заказывает единиц и спрос есть Если то прибыль статистика от продажи равна его запас уменьшается до и средняя прибыль от следования оптимальной процедуре на оставшихся шагах равняется Если то его прибыль от продажи всего имеющегося товара есть уровень запаса сводится к нулю, а средняя прибыль на оставшихся шагах есть Вычитая стоимость приобретенных единиц товара, приходим к соотношению

Положим для всех . Пусть отвечающая п. p. в. . Если остался только один шаг, т. е. то дифференцированием правой части соотношения (2) получаем, что статистику надо заказать столько единиц товара, чтобы уровень его запаса равнялся значению, удовлетворяющему соотношению

Если начальный уровень запаса у превосходит это значение, то никакого заказа делать не надо. Функции являющиеся решениями уравнения (2), становятся все более и более сложными. Вместо того чтобы исследовать это уравнение дальше, применим другой подход.

Из постановки задачи ясно, что при всех должно выполняться соотношение

Это соотношение выражает тот факт, что статистик может изменить свой начальный уровень запаса у на всякий другой уровень заказав единиц товара общей стоимостью Для каждого у пусть то значение при котором достигается верхняя грань в (4). Эта верхняя грань действительно достигается при некотором значении так как функция непрерывна, а очень большие значения не могут быть оптимальными, так что их можно исключить из рассмотрения.

Допустим, что при некотором начальном уровне запаса Тогда оптимальным для статистика является заказать положительное количество товара, приводящее уровень запаса к величине Покажем теперь, что если осталось шагов, то оптимальная процедура имеет такой вид. Если начальный уровень запаса то на первом шаге статистику надо заказать столько товара, чтобы уровень запаса стал равным Если у то, согласно оптимальной процедуре, на первом шаге заказывать ничего не надо.

Для доказательства оптимальности этой процедуры рассмотрим начальное значение у, для которого у Тогда если , то (4) можно записать в виде

Из определения следует, что верхняя грань в (5) достигается, когда следовательно, когда Другими словами, значит,

Покажем, что фактически (6) верно для более широкого интервала значений у. Рассмотрим те при которых или в случае те у, при которых 0 Из постановки задачи ясно, что если, согласно оптимальной процедуре, надо заказывать единиц, когда начальный уровень запаса есть , то оптимально заказать по крайней мере единиц, когда начальный уровень запаса Другими словами, Более общим образом, можно считать, что

— невозрастающая функция от у. Поэтому соотношение (4) можно записать в виде

Верхняя грань в (7) достигается при или, что то же Самое, при что совпадает с полученным ранее результатом. Таким образом, мы показали, что (6) справедливо для всех начальных значений у из интервала

Мы можем теперь рассмотреть начальные значения у из интервала и продолжать таким образом, пока (6) не будет установлено для всех значений у из интервала

Из предыдущего ясно, что в случае, когда остается шагов, существует уровень запаса у, для которого оптимальная процедура такова: если уровень запаса меньше то статистику надо заказать такое количество товара, чтобы уровень запаса стал равным если уровень запаса не меньше у, то статистику ничего «заказывать не надо. При пусть обозначает соответствующий оптимальный уровень запаса для случая, когда число оставшихся шагов равно Тогда, согласно (3), у должно удовлетворять соотношению

Далее, должны выполняться неравенства самом деле, чем больше число оставшихся шагов, тем больше общее число единиц товара, который статистик может продать, и, следовательно, тем больше количество товара, которое он может позволить себе иметь в запасе. Все эти результаты подытожены в приводимой ниже теореме.

Теорема 1. Рассмотрим пгшаговую задачу управления запаг сами, определенную посредством соотношения (2). Существуют числа со следующим свойством: если уровень запаса есть при числе оставшихся шагов, то согласно оптимальной процедуре надо заказать единиц товара, если и заказать 0 единиц, если

Мы не будем останавливаться на вопросе о вычислении значений у при