Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§ 3.1. Случайные величины и их распределения

Пусть некоторое вероятностное пространство. Случайной величиной X называется вещественная -измеримая функция, значение которой определено для каждой точки Каждая случайная величина X индуцирует распределение вероятностей на вещественной прямой Для всякого борелевского множества вероятность определяется соотношением

Функцией распределения (сокращенно случайной величины X называется функция вещественного аргумента задаваемая равенством

Каждая ф. р. является неубывающей. Другими словами, если х и у — два числа и то (упр. 1). Пусть далее для всякого обозначает предел значений при у, стремящемся к х справа. Всякая непрерывна справа в том смысле, что для всех Кроме того,

Обратно, каждая функция с указанными свойствами может быть рассматриваема как ф. р. и задает распределение вероятностей на борелевских подмножествах вещественной прямой.

Почти всякое распределение, встречающееся в практических приложениях, имеет один из следующих трех типов.

Дискретные распределения. Говорят, что случайная величина X имеет дискретное распределение, если X может принимать лишь счетное (возможно, конечное) число различных значений Функцией вероятностей (сокращенно ф. в.) величины X называется функция задаваемая соотношением

Отсюда видно, что для любого борелевского множества

Абсолютно непрерывные распределения. Говорят, что распределение случайной величины X абсолютно непрерывно, если существует неотрицательная плотность распределения вероятностей (сокращенно п.р.в.) f, такая, что для всех борелевских множеств

Следует заметить, что на любом счетном множестве точек (или, более общим образом, на любом множестве нулевой лебеговой меры) значения п.р.в. могут быть изменены с сохранением распределения вероятностей, указанного в (4). Если распределение величины X абсолютно непрерывно, то ее ф. р. дифференцируема почти всюду и в каждой точке непрерывности п. р. в. имеем

Распределения смешанного типа. Распределение случайной величины может обладать как дискретной, так и абсолютно непрерывной компонентами. Другими словами, может существовать счетное множество точек вероятность которого равна в то время как оставшейся вероятности отвечает распределение на вещественной оси с некоторой п. р. в.