§ 8.10. Цена наблюдения

Во многих статистических задачах решения наблюдение случайной величины X связано с определенными затратами, которые должны учитываться статистиком при расчете риска от принятия решающей функции, использующей результаты наблюдения Это обстоятельство играет особенно важную роль в случае, когда статистику надо решить, какую из нескольких случайных величин предпочтительнее наблюдать, или решить, производить ли наблюдения вообще. Пусть с обозначает цену наблюдения

значевия х величины X, если Тогда, если есть о. в. п. случайной величины то средняя цена наблюдения равна

Мы будем предполагать, что для цены с верно предположение о средней полезности. Другими словами, будем считать, что эта цена выражена в соответствующих единицах отрицательной полезности так, что существенным для нас является лишь среднее значение вероятностного распределения цены с

Общим риском от наблюдения X и принятия решающей функции называется сумма риска и средней цены наблюдения Статистик должен выбрать наблюдение X из некоторого класса доступных наблюдению случайных величин и соответствующую байесовскую решающую функцию минимизирующую общий риск.

Выражая общий риск в виде суммы риска решающей функции и средней цены наблюдения, мы неявно используем предположение об аддитивности полезностей статистика. По существу все результаты в теории статистических решений основываются на этом аддитивном представлении общего риска, и мы будем использовать его далее в этой книге, не входя в его обсуждение. Обстоятельный разбор этого вопроса можно найти у Райффы и Шляйфера (1961), гл. 4.

Весьма часто во власти статистика выбрать тот или иной объем случайной выборки, и цена наблюдения зависит лишь от этого объема выборки. Другими словами, цена наблюдения не зависит от значения или от наблюдаемых в действительности значений случайной величины X.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим опять пример 1 из § 8.9 и предположим теперь, что цена наблюдения случайной величины X равна с, с Статистик может либо принять решение, не наблюдая X, либо заплатить сумму с и наблюдать X перед принятием решения. При заданном априорном распределении спрашивается, на какую сумму с стоит соглашаться статистику?

Для решения этой задачи надо сравнить минимальное значение риска без учета цены наблюдения с, которое может быть получено на основе наблюдения X, с минимальным риском отвечающим байесовскому решению при отсутствии наблюдений. Функция уже найдена, и ее график приведен на рис. 8.6. Функция согласно таблице 8.2, имеет вид

Графики функций изображены на рис. 8.7. Из этого рисунка видно, что если или

Следовательно, при значении априорной вероятности лежащем в одном из этих интервалов, статистик может достигнуть и без наблюдения X того же значения риска, что и при наблюдении

Если то

Рис. 8.7. Риски из примера 1.

За возможность наблюдения величины X перед принятием решения статистику следует соглашаться на любую цену с, такую, что с Разность между рисками максимальна для где она равна .

ПРИМЕР 2. Предположим теперь, что в задаче решения из примера 1 статистик может выбирать число наблюдений случайной величины Другими словами статистик может наблюдать значения случайных величин причем при каждом фиксированном значении величины независимы и одинаково распределены с той же самой условной что и одно наблюдение X из примера 1. Условные даются равенствами (5) § 8.9 и могут быть записаны в следующем виде: при

Для любой последовательности результатов наблюдений положим Тогда значения условной ф. в. случайных величин при условии таковы:

Если цена каждого наблюдения равна с то выборку какого объема следует избрать статистику?

Для любой априорной вероятности обозначим через апостериорную вероятность того, что при условии, что произведена выборка объема Из теоремы Байеса следует, что

Как было показано в примере 1 § 8.9, при решение является байесовским, в противном случае — байесовское решение. Поэтому из (5) видно, что байесовская решающая функция предписывает решение если

В противном случае предписывает решение

Пусть обозначает значение правой части неравенства (6). Из таблицы 8.2 видно, что риск байесовской решающей функции удовлетворяет соотношению

Условное распределение суммы является биномиальным с параметрами (см. § 4.3). Ее условное распределение в случае, когда также биномиальное с параметрами Следовательно, риск можно вычислить для любой априорной вероятности и не слишком большого

объема выборки по таблицам биномиального распределения. Для больших значений значение можно вычислить, используя нормальную аппроксимацию биномиального закона (см. Феллер (1957), гл. 7) и таблицы нормального распределения.

Для получения общего риска байесовской решающей функции при выборке объема к риску должна быть добавлена цена выборки

Таблица 8.3 (см. скан) Значения риска при

Оптимальный выборочный объем при априорной вероятности это значение минимизирующее общий риск определяемый формулой

В таблице 8.3 даны некоторые значения риска и общего риска при априорной вероятности равной и цене наблюдения с, равной 0,01. Следует отметить, что риск обязательно убывает с ростом Однако, ввиду того что наблюдения имеют дискретное распределение, общий риск как функция от может иметь незначительные колебания (на фоне общей картины). Из таблицы 8.3 видно, что оптимальный объем выборки в нашей задаче равен 25, а минимальное значение общего риска равно 0,3403.