§ 2.4. Условная вероятность

Для данного эксперимента часто бывает необходимо рассматривать вероятность появления события А в случае, когда имеется добавочная информация об исходе эксперимента после появления некоторого другого события В. Эта величина называется условной вероятностью А при заданном В. Если то условная вероятность события А при заданном В определяется как

Вопрос о том, как определить условную вероятность в случае, когда обсуждается в следующей главе.

Понятие условной вероятности, определенной посредством формулы (1), полезно при задании распределения вероятностей. В некоторых задачах легче определить безусловные вероятности, задаваясь сначала условными вероятностями, а затем уже вычисляя с их помощью искомые безусловные вероятности. Этот часто применяемый метод иллюстрируется в упр. 9. Конечно, в некотором смысле все вероятности являются условными, поскольку они зависят от информации статистика и от выбора им специальной математической модели для описания эксперимента. В этой книге мы избежали философских трудностей, связанных с этим замечанием, рассматривая информацию, известную статистику в момент анализа той или иной задачи, как заданную и фиксированную и считая безусловными все вероятности, не зависящие ни от какой дальнейшей информации.

Несмотря на элементарность следующего результата, известного как формула Байеса, он будет в различных формах широка использоваться в дальнейшем. Мы приведем его с полным доказательством.

Теорема Байеса. Пусть бесконечная последовательность непересекающихся событий, такая, что при Если В — произвольное

событие, для которого то

Аналогичный результат имеет место и для конечной последовательности непересекающихся событий удовлетворяющей указанным условиям.

Доказательство. Из формулы (1) следует, что для любого фиксированного значения Опять-таки из (1) выводим, что

Из наших предположений о последовательности вытекает, что Так как события не пересекаются, то в силу свойства 2 определения вероятностного распределения из § 2.3 имеем