§ 13.9. Существование оптимальных правил остановки в задачах выбора без отбрасывания и с отбрасыванием

В этом параграфе мы укажем условия, при которых теорема 1 § 13.8 может быть применена для доказательства существования оптимального правила остановки в задачах выбора без отбрасывания и с отбрасыванием, изучавшихся в § 13.5-13.7. Нам потребуется следующий результат, известный как лемма Бореля — Кантелли.

Лемма Бореля—Кантелли. Пусть последовательность событий из произвольного вероятностного пространства, такая, что Если , то

Доказательство. Вероятность удовлетворяет следующему соотношению:

Так как то сумма ряда 2 должна стремиться к 0 при

Событие определенное в лемме Бореля — Кантелли, имеет следующий смысл: оно происходит тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число событий из последовательности Таким образом, согласно лемме Бореля — Кантелли, если то с вероятностью 1 имеет место лишь конечное число событий

Обратимся теперь к задаче выбора без отбрасывания. В следующей лемме предполагается, что наблюдения одинаково распределены, но необязательно независимы. Поэтому, как уже отмечалось, эта лемма относится как к случаю выбора из известного распределения, так и к случаю выбора из распределения с неизвестными параметрами.

Лемма 1. Пусть последовательность одинаково распределенных случайных величин с общей Пустъг далее, с заданное число,

и Если для существует среднее, то с вероятностью конечна и дисперсия то

Доказательство. Из (2) и из определения видно, что . С другой стороны, при

Поэтому и тем самым

Предположим теперь, что для существует среднее и X — случайная величина с распределением Тогда для любой постоянной а

Последнее равенство в (5) получается интегрированием по частям {см., например, Феллер (1966), стр. 190]. Итак, . В частности, при получаем (используя тот факт, что распределение каждого из наблюдений совпадает с распределением X)

Из леммы Бореля — Кантелли следует, что с вероятностью 1 найдется лишь конечное число значений для которых Значит, с вероятностью 1

и с учетом (4) мы заключаем, что

Для доказательства того, что с вероятностью 1, рассмотрим случайные величины

Положим также Тогда, если с заменить на то в силу первой части леммы при

так что

Пусть теперь случайная величина с положительными целочисленными значениями, задаваемая равенством

Другими словами, случайный номер, при котором достигается Существование с вероятностью 1 такого

конечного значения является следствием результатов первой части леммы.

Для определим события следующим образом:

Тогда Далее, поскольку в случае наступления события имеем то в этом случае Значит,

где случайной величины Так как при осуществлении события имеем то в этом случае Поэтому при

и

Из соотношений (12) и (14) выводим следующий результат:

Если дисперсия конечна, то конечно и последнее математическое ожидание в (15), а потому конечен и первый интеграл в этом соотношении.

Так как

Следовательно, если дисперсия конечна, то

Из сопоставления теоремы 1 § 13.8 и леммы 1 данного параграфа и вытекает существование оптимальных правил остановки, которое постулировалось в § 13.5 —13.7. Подытожим результаты наших исследований в виде следующих двух теорем.

Теорема 1. Пусть последовательная повторная выборка из распределения с известной При фиксированной цене наблюдения с определим случайные величины формулами

Если при то найдется правило остановки, максимизирующее одновременно и Согласно этому правилу, выбор прекращается, как только к для некоторого наблюдения где — единственное решение уравнения (1) § 13.5.

Теорема 2. Пусть — последовательная повторная выборка из распределения, зависящего от неизвестного параметра с заданным априорным распределением. Пусть, далее, с — цена каждого наблюдения и для случайные величины определены формулой (17). Если при то найдутся правило остановки, максимизирующее правило остановки, максимизирующее

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Вопрос о существовании оптимальных правил остановки при различных условиях изучался Снеллом (1952), Чжоу и Роббинсом (1961, 1963, 1967b), Брэмблеттом (1965), изложению которого мы следовали при доказательстве леммы 1, Хаггстромом (1966), Яхавом (1966), из статьи которого заимствовано упр. 18 Черновым (1967а) и Сигмундом (1967).