§ 14.9. Задачи управления запасами с бесконечным числом шагов

Модифицируем задачу управления запасами следующим образом. Вместо процесса с конечным числом шагов рассмотрим процесс, число шагов которого бесконечно, введя при этом множитель уменьшающий стоимость с течением времени Таким образом, как цена товара, заказанного на шаге, так и прибыль от его продажи на этом шаге должны быть умножены на Задача снова» состоит в отыскании последовательной процедуры, максимизирующей среднюю прибыль. Если число единиц товара, заказанного статистиком в начале шага числа единиц товара, проданного на этом шаге, то средняя прибыль равна

Как и раньше, обозначим через спрос на шаге Далее, предположим, что случайные величины независимы и одинаково распределены с общей п. р. в. .

Для каждого пусть обозначает значение среднего дохода (1) при оптимальной процедуре, если начальный уровень запаса статистика есть у. Функция V удовлетворяет функциональному уравнению, схожему с уравнением (2) § 14.8. Вместо того чтобы менять индекс у V в правой части последнего уравнения, теперь надо ввести множитель Повторяя с соответствующими видоизменениями рассуждения предыдущего параграфа, приходим к соотношению

Решение этой задачи проще, чем решение задачи с конечным числом шагов. В силу свойства стационарности задачи с бесконечным числом шагов оптимальная процедура просто указывает число единиц товара которое должен заказать статистик, когда его уровень запаса есть у, независимо от номера шага процесса.

Рассуждения, приводящие к формуле (4) § 14.8, устанавливают справедливость и следующей формулы:

Так же как и в случае функций доказывается, что оптимальным является заказ такого числа единиц товара, чтобы уровень запаса стал равен некоторому фиксированному значению у. Если уровень запаса на нескольких первых шагах процесса превосходит у, то на этих шагах дополнительный товар заказывать не следует. Займемся теперь определением этого оптимального значения у.

При всех пусть обозначает среднюю прибыль, если начальный уровень запаса равен у, и на каждом шаге заказывается столько товара, чтобы сохранялся один и тот же уровень запаса у. Значения можно вычислить следующим образом.

Пусть средняя прибыль от продажи на первом шаге минус уменьшенная за счет множителя стоимость, затраченная на восстановление уровня запаса до исходной величины у к началу второго шага. Тогда

Так как уровень запаса к этому моменту опять равен у, то средний доход от продажи, с учетом влияния множителя на втором шаге и соответствующего заказа на очередном шаге, равен просто Продолжая таким же образом, находим, что

Предположим теперь, что начальный уровень запаса есть О и на каждом шаге заказывается столько единиц товара, сколько требуется для сохранения запаса на уровне у. Пусть средняя прибыль при такой процедуре. Так как стоимость товара, заказываемого на первом шаге, равна то

Мы знаем, что оптимальная процедура есть процедура такого вида при некотором значении у. Следовательно, оптимальное значение у доставляет максимум функции Это значение может быть получено элементарным дифференцированием. Если

отвечающая п. p. в. , то из соотношений следует, что

Решая уравнение видим, что искомое значение у удовлетворяет соотношению

Полученные результаты можно подытожить в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Рассмотрим задачу управления запасами с бесконечным числом шагов, определяемую посредством соотношения (2). Пусть у удовлетворяет соотношению (8). Если у — уровень запаса перед заказом товара на произвольном шаге, то согласно оптимальной процедуре надо заказывать у — у единиц, если У и 0 единиц, если у у.

При задача в действительности является одношаговой и, как и следовало ожидать, значение у совпадает с значением у из § 14.8. С другой стороны, если то уменьшение стоимости будущих заказов незначительно. Поэтому статистик не понесет большого ущерба от сохранения непроданного запаса в течение долгого времени, лишь бы этот товар был когда-нибудь продан. По этой причине при

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. На исследование задач оптимального управления запасами сильное влияние оказали статьи Эрроу, Харриса и Маршака (1951) и Дворецкогог Кифера и Вольфовица (1952а, b). Изложение многих различных результатов теории управления запасами имеется в книгах Эрроу Карлина и Скарфа (1958, 1962) и Скарфа, Гилфорда и Шелли (1963). В книге Беллмана (1957а), гл. 5, рассматриваются как задачи, обсужденные нами, так и некоторые другие. Кроме того, этой тематике посвящены книги Вагнера (1962) и Хедли и Уайтина (1963); к ней же относятся отдельные места книги Хедли (1964). Наконец, отметим обзорную статью Вейнотта (1966) по теории управления запасами, содержащую обширную библиографию (118 названий).