§ 7.3. Определение функции полезности

Для всякого распределения и всякой вещественной функции на множестве R обозначим через математическое ожидание функции (если оно существует) относительно распределения Другими словами,

Вещественная функция заданная на множестве назьь вается функцией полезности, если она обладает следующим свойством. Пусть два распределения, для которых существуют средние Тогда в том и только в том случае, если Для любого дохода число называется полезностью Таким

образом, одно вероятностное распределение следует предпочесть другому в том и лишь в том случае, когда ожидаемая полезность получаемого дохода при первом распределении больше, чем при втором.

Для всякого распределения число (в случае когда это математическое ожидание существует) мы будем часто называть просто полезностью Итак, полезность вероятностного распределения — это ожидаемая полезность дохода, получаемого при этом распределении. По этой причине предположение о существовании функции полезности часто называют предположением о средней полезности.

Отметим два следствия из условия существования функции полезности.

Во-первых, если два дохода, то тогда и только тогда, когда Этот результат сразу следует из определения функции полезности, если каждый доход отождествить с вырожденным вероятностным распределением, приписывающим этому доходу единичную вероятность.

Во-вторых, существование функции полезности гарантирует сравнимость широкого класса распределений из включающего в себя все финитные распределения. Пусть обозначает класс всех распределений для которых существует Любые два распределения из сравнимы. Но класс содержит в — класс всех финитных распределений, как показывает следующее рассуждение.

Пусть Тогда существуют доходы для которых . В силу первого из двух указанных выше свойств имеем для всех из интервала откуда Значит,

В силу этого факта предположение о полной упорядоченности класса сделанное в § 7.2, хорошо увязывается с определением функции полезности.

Главной целью этой главы является установление условий, при которых отношение определяет некоторую функцию полезности. Следующая лемма показывает, что в случае существования функции полезности некоторые ее линейные преобразования также будут функциями полезности.

Лемма 1. Пусть функция полезности на Тогда всякая функция V вида где постоянные также является функцией полезности.

Доказательство. Для всякого распределения среднее существует тогда и только тогда, когда существует Пусть два распределения с конечными средними Так как функция

полезности, то в том и только в том случае, когда Но

и в силу положительности а неравенство равносильно неравенству Следовательно, функция полезности.

Ниже будет показано, что функции полезности существуют при сравнительно простых предположениях и что они единственны с точностью до возрастающего линейного преобразования, указанного в лемме 1. Сначала мы обсудим некоторые свойства функций полезности.