§ 13.11. Правила остановки для мартингалов

Рассмотрим задачу определения среднего выигрыша для различных правил остановки в случае, когда последовательность выигрышей образует мартингал. Из соотношения (1) § 13.10 следует, что при Поэтому естественно ожидать, что для широкого класса (если не для всех) правил остановки Аналогично в случае когда супермартингал, имеем и естественно предположить, что

Аналогичное утверждение может быть сделано и относительно субмартингалов. Однако эти интуитивно очевидные соотношения все же не имеют места для всех последовательностей и всех правил остановки. В этом и следующем параграфах мы приведем различные условия, гарантирующие справедливость указанных соотношений. Отметим, что для каждого правила остановки событие можно рассматривать как подмножество в или в при Мы ограничимся правилами остановки из класса А, т. е. такими, для которых

Теорема 1. Пусть последовательность образует супермартингал, субмартингал или мартингал относительно последовательности правило остановки, для которого существует

Если последовательность — супермартингал и выполнено соотношение

то .

Если эта последовательность является субмартингалом и выполнено противоположное неравенство, то

Если же рассматриваемая последовательность — мартингал и в (1) имеет место знак равенства, то

Доказательство. Докажем справедливость теоремы для случая супермартингалов. Для других случаев доказательство вполне аналогично.

В силу предположения о существовании имеем

Из теоремы 1 § 13.10 следует, что при

Значит,

Согласно условию теоремы, предел в правой части соотношения (4) неотрицателен. Следовательно,

Так как предел в соотношении (1) равняется 0 для всякого ограниченного правила остановки, то имеет место следующий факт.

Следствие 1. Пусть последовательность образует супермартингал, субмартингал или мартингал относительно последовательности правило остановки, для которого при некотором Тогда в случае супер мартингала в случае субмартингала наконец, в случае мартингала

Доказательство. Выше было показано, что первая часть каждого неравенства следует из теоремы 1. Вторая же часть вытекает из теоремы 1 § 13.10. Например, если последовательность — супермартингал, то

В теореме 1 решающую роль играет предположение о существовании для данного правила остановки. Мы приведем теперь простые условия, гарантирующие существование для всех правил остановки из класса А.

Теорема 2. Пусть последовательность образует супермартингал, субмартингал илимартингал относительно последовательности Если найдется такое что для то существует для всех правил остановки из класса А.

Доказательство. Мы дадим доказательство лишь для субмартингалов. В случае супермартингалов доказательство проводится точно так же, а для мартингалов оно еще проще.

Определим для каждой случайной величины У случайные величины следующим образом:

Тогда Для произвольных правила остановки и натурального числа обозначим через правило остановки, получающееся усечением процедуры после наблюдений. Мы по-прежнему используем один и тот же Символ как для правила остановки, так и для случайного числа наблюдений, требуемого этим правилом остановки.

Для правила остановки и натурального имеем

Поэтому, если положить в то получим

Мы докажем теорему, показав, что правая часть неравенства (8) конечна. Так как последовательность образует субмартингал относительно последовательности то из упр. 21 следует, что также есть субмартингал относительно Далее, так как то применимо следствие 1, что дает

Поэтому значение правой части (8) [не превосходит]