§ 8.3. Неотрицательные функции потерь

Пусть распределение параметра в некоторой задаче решения есть Пусть, далее, а — некоторая заданная постоянная и X — вещественная функция на параметрическом пространстве такая, что интеграл конечен. Рассмотрим новую функцию потерь определяемую по начальной функции потерь следующим образом:

Для всякого решения пусть обозначает риск, отвечающий исходной функции потерь (см. формулу (4) § 8.1), а риск, соответствующий новой функции потерь Тогда для любых двух решений соотношения и равносильны. В частности, решение тогда и только тогда является байесовским

при распределении для исходной задачи, когда является байесовским решением при для новой задачи с функцией потерь

Рассмотрим теперь функцию задаваемую при всех формулой

Если интеграл от функции удовлетворяет условию, сформулированному в начале этого параграфа, то мы можем заменить новой функцией потерь определенной для всех равенством

Функция обладает следующими свойствами: при всех

Во многих задачах удобнее иметь дело снеотрицательными функциями потерь указанного вида, хотя и кажется, что в этом случае статистик всегда принимает решения, не дающие положительного выигрыша.

Отметим, что все функции потерь в упр. 1—3 в конце этой главы удовлетворяют условиям (4).