§ 7.4. Некоторые свойства функций полезности

Наше обсуждение различных свойств функций полезности в этом и двух последующих параграфах будет в основном состоять в рассмотрении конкретных примеров. Вот два таких примера.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим множество содержащее лишь три различных дохода Этими доходами могут быть, например, различные книги или билеты в театр. Всякое вероятностное распределение из класса задается тройкой вероятностей где . В такой тройке символ обозначает вероятность получения дохода ). Предположим, что на множестве R определена функция полезности и изучим следствия из этого предположения для предпочтений среди распределений из Заметим, что без ограничения общности можно считать, что

Как было указано в лемме 1 § 7.3, к функции полезности можно применить произвольное возрастающее линейное преобразование. Поэтому без ограничения общности можно считать, При этом предположении все предпочтения среди распределений из задаются одним числом которое мы обозначим через и. Это число и лежит в интервале и является тем единственным значением, для которого вероятностное распределение (и, 0, 1 — и) эквивалентно распределению (0,1,0). Другими словами, и — единственное число, обладающее следующим свойством: лотерейный билет, дающий выигрыш с вероятностью и и выигрыш с вероятностью 1 — и, эквивалентен билету, заведомо доставляющему выигрыш

Предположим, далее, что два распределения. Тогда в том и только в том случае, когда

Отсюда видно, что отношение предпочтения между зависит лишь от разностей соответствующих компонент. Таким образом, одно только, существование функции полезности влечет за собой, например, что соотношения

и

равносильны. Точное значение и определило бы общее направление символа предпочтения в соотношениях (2) и (3).

ПРИМЕР 2. (а) Предположим, что вам предоставлено выбрать одну из следующих игр:

В игре 1 вы заведомо выигрываете 500 000 долларов.

В игре 2 возможные выигрыши таковы: 2 500 000 долларов с вероятностью 0,10, 500 000 долларов с вероятностью 0,89, 0 долларов с вероятностью 0,01, причем предполагается, что выигрыши не облагаются налогом. Какую игру вы предпочтете? В любом случае вы ничего не теряете.

(б) Пусть теперь вам надо выбрать одну из следующих двух игр:

В игре 3 возможные выигрыши суть: 500 000 долларов с вероятностью 0,11, 0 долларов с вероятностью 0,89.

В игре 4 возможные выигрыши — это: 2 500 000 долларов с вероятностью 0,10, 0 долларов с вероятностью 0,90. Которую из этих двух игр вы бы предпочли?

Впервые этот пример был рассмотрен Алле (1953) и затем обсуждался Сэвиджем (1954). Было обнаружено, что многие предпочитают игру 1 игре 2 и игру 4 игре 3. Очевидно, при предпочтении игры 1 игре 2 рассуждают следующим образом: поскольку 500 000 долларов — это весьма большая сумма, то не следует упускать возможность ее достоверного получения и гнаться за возможностью приобрести значительно большую сумму, поскольку при этом имеется пусть и небольшой шанс не получить ничего. Предпочитая игру 4 игре 3, рассуждают, видимо, так: вероятность ничего не получить в игре 4 лишь чуть больше, чем в игре 3, в то время как возможный выигрыш в игре 4 значительно больше.

Интересным в этом примере является следующее обстоятельство. В указанных четырех играх фигурируют лишь три различные суммы денег, следовательно, мы можем применить выводы, полученные при обсуждении примера 1. Пусть функция

полезности на множестве возможных выигрышей удовлетворяет неравенствам

Тогда из результатов, полученных при рассмотрении примера 1, следует, что игра 1 предпочтительнее игры 2 в том и только в том случае, когда игра 3 предпочтительнее игры 4.

Поскольку этот факт противоречит наблюденным предпочтениям большого числа людей, то может показаться, что в описанной ситуации для многих лиц, поставленных перед необходимостью выбора, вообще не существует функции полезности. Однако более разумным объяснением является то, что функция полезности в этом примере зависит не только от денежного выигрыша. Действительно, если некто предпочел игру 2 игре 1 и получил нулевой доход, то нельзя считать, что он просто ничего не получил и продолжает жизнь, как до предложенного выбора. Скорее, его доход — это продолжение жизни с имеющимися у него средствами и с сознанием, что при другом решении он был бы богаче на 500 000 долларов. Таким образом, при решении вопроса о выгодности игры 2 следует учитывать не только возможность нулевого дохода, но и такие факторы, как раскаяние об упущенной возможности разбогатеть и насмешки со стороны окружающих. Эти соображения, которые в значительной степени отсутствуют при выборе между играми 3 и 4, дают лишние доводы в пользу предпочтения игры 1 игре 2.

Цель настоящих замечаний — предостеречь от некритического отношения к предположению о том, что функция полезности в задаче выбора зависит лишь от простого множества доходов, скажем от размера возможных денежных выигрышей. Вполне может быть, что, делая выбор, статистик рассматривает свои возможные доходы как значительно более сложные объекты и его функция полезности будет при этом определяться многими факторами. Скорее всего, именно это имеет место при выборе в искусственных задачах типа примера 2 или в ситуациях, описанных в упомянутой в § 6.6 статье Эллсберга (1961) и в большинстве работ по экспериментальному определению полезности. Другой иллюстрацией к этим замечаниям может служить пример решения о том, проводить ли вечер за карточной игрой. Здесь учитываются не только соображения выигрыша или проигрыша, но также и соображения о полезности такого времяпровождения.