§ 11.12. Проверка гипотезы о равенстве нулю некоторых коэффициентов регрессии

В задачах множественной линейной регрессии компоненты вектора называются коэффициентами регрессии. Во многих таких задачах статистик должен решить, будут или нет значения некоторых коэффициентов регрессии близкими к 0. В качестве примера использования результатов, полученных в § 11.11, рассмотрим задачу проверки гипотезы о том, что где фиксированное число

В этой задаче мы должны минимизировать функцию [см. (9) § 11.11] по всем векторам таким, что

Предположим, что векторы и матрицы разбиты на блоки следующим образом:

Здесь -мерные векторы, -матрицы.

Нам надо минимизировать на множестве всех векторов таких, что Это минимальное значение дается соотношением (5) § 11.11. В нашей задаче

Но по формуле (14) § 5.4 мы имеем

Поэтому минимальное значение равно

Далее, согласно равенству (6) § 11.11, это минимальное значение достигается в точке для которой имеет вид

Используя соотношение (16) § 5.4, получаем

Итак, минимальное значение достигается в точке и

Предположим теперь, что апостериорное распределение для есть многомерное -распределение, указанное в конце § 11.10, число степеней которого равно вектор сдвига и матрица точности есть Допустим, далее, что -мерный вектор -матрица разбиты на блоки следующим образом:

Здесь -мерный вектор, -матрица.

Из (2) и (3) следует, что минимальное значение функции можно записать в следующем виде:

Поэтому, в силу равенства, (10) § 11.11, отношение у может быть приближено с помощью Большая величина этого отношения указывает на то, что значение апостериорной в точке много больше, чем в любой другой точке для которой последние к коэффициентов равны 0.