§ 11.8. Решение вопроса о том, будет ли параметр меньше или больше предписанного значения

В задаче проверки гипотез, при которых каждое из множеств достаточно «массивно», чтобы иметь положительную вероятность при данной априорной п. р. в. на параметрическом пространстве можно использовать обычные статистические методы. Здесь будет обсуждена одна специальная задача такого типа.

Предположим, что статистик должен решить, будет ли значение вещественного параметра меньше или больше заданной постоянной Допустим, далее, что ущербы проистекающие от принятия двух возможных решений имеют вид

Другими словами, решение правильно, если решение правильно, если Ущерб от принятия неверного решения при есть

Из приводимых ниже соображений следует, что использование функции потерь вида (1) в широком классе случаев представляется целесообразным. Допустим, что в задаче проверки гипотез о том, является ли значение вещественного параметра малым или большим, ущерб от принятия решения о малости значения есть неубывающая функция от а ущерб от принятия решения о том, что это значение велико, — невозрастающая функция Предположим, что разность обращается

в нуль в некоторой точке и возрастает в этой точке. Тогда при достаточно общих условиях разность можно приблизить в окрестности точки возрастающей линейной функцией:

Здесь и подходящим выбором системы единиц можно добиться того, чтобы Функции потерь задаваемые посредством (1), удовлетворяют соотношению (2) с как и любые функции потерь вида

где X — произвольная функция

Как было показано в § 8.3, байесовское решение при любом заданном распределении не зависит от выбора функции К. Удобно положить где определяется формулой (1). При таком выборе X мы должны исследовать задачу статистического решения с функциями потерь вида

Рассмотрим теперь любое распределение такое, что существует среднее Тогда риск от принятия решения есть а риск от принятия решения равен Таким образом, байесовское решение совпадает с если если

Пусть обозначает априорное распределение предположимг что, прежде чем выбрать решение, статистик может наблюдать случайную величину или случайный вектор X, для которого условная о. в. при есть . В более общей постановке распределение X может содержать, кроме и другие параметры и надо задавать априорное совместное распределение всех этих параметров. Пусть обозначает среднее апостериорного распределения при Мы предположим, что существует для всех значений х. Тогда из предыдущих соображений следует, что байесовская решающая функция 6 имеет вид

Далее, риск от принятия байесовского решения при дается формулой

Пусть теперь G - ф. р. случайной величины при априорном распределении равном Хотя, прежде чем сделать

наблюдение X, статистик не знает, каким будет значение для апостериорного распределения он может, однако, рассчитать его функцию распределения исходя из о. в. п. и априорной Таким образом, из равенства (6) следует, что байесовский риск при априорной задается следующим соотношением:

Рассмотрим снова исходную задачу статистического решения при функции потерь (1). Пусть обозначает байесовский риск в этой задаче. Поскольку мы выбрали функцию Я так, чтобы то из (3) вытекает, что Таким образом, из равенств (7) и (1) видно, что байесовский риск задается так:

Оба интеграла в (8) имеют один и тот же вид; в первом — интегрирование ведется относительно априорного распределения во втором — относительно распределения Поскольку функции потерь (1) неотрицательны, Поэтому для любого значения любой ф. р. и любого наблюдения X первый интеграл в (8) должен быть не меньше второго интеграла.

Исследуем далее интегралы из (8). Для любой ф. p. F на вещественной прямой с конечным средним пусть обозначает следующую функцию на вещественной прямой:

Функцию можно рассматривать, как преобразование Можно показать (см. упр. 21), что неотрицательная выпуклая функция, которая строго убывает при каждом значении таком, что Далее, если среднее значение то удовлетворяет таким условиям:

Пример функции удовлетворяющей этим условиям, предоставлен на рис. 11.3. Если любая случайная величина

с ф. p. F, то, как видно из при данном значении тогда и только тогда, когда Далее, при данном значении в том и только в том случае, когда Наконец, если F - ф. р. дискретной случайной величины, то функция выпукла и кусочно линейна. Равенство (8) можно переписать в виде

Мы уже отмечали, что Далее можно рассмотреть две крайние ситуации. Пусть сперва наблюдения X не зависят от или, что то же самое, никаких наблюдений не делается.

Рис. 11.3. Функция

Тогда апостериорное распределение должно совпадать с априорным. Поэтому среднее апостериорного распределения равно среднему значению априорного распределения. Другими словами, ф. p. G отвечает вырожденному распределению, дающему вероятность 1 значению Отсюда следует, что при при Если подставить эти значения в (11), то получим байесовский риск для случая отсутствия наблюдений.

Предположим теперь, что наблюдение X дает полную информацию о значении и после наблюдения X статистик будет знать точное значение Тогда с вероятностью 1, откуда следует, что ф. p. G совпадает с априорной ф. р. параметра Таким образом, в этом случае и