§ 5.2. Мультиномиальное распределение

Рассмотрим эксперимент, результаты которого принадлежат одному из к (к 2) непересекающихся классов. Пусть вероятность того, что результат эксперимента принадлежит классу так что Предположим, что эксперимент проводится раз и все его исходов независимы. Пусть, далее, обозначает число результатов, принадлежащих классу Тогда случайный вектор имеет мультиномиальное распределение с параметрами Пусть обозначает точку из каждая из координат которой есть неотрицательное целое число причем Тогда в точке х значение ф. в. случайного вектора X равно

Из определения случайного вектора X следует, что во всех других точках

Поскольку вероятность того, что равна 1, то можно

одну из к случайных величин исключить и мультиномиальную ф. в., задаваемую равенством (1), записать в виде -мерного распределения. Такое отбрасывание приводит, однако, к нарушению симметрии между классами. В действительности мы уже проделывали аналогичную вещь с биномиальным распределением, определенным в § 4.3. Если X имеет биномиальное распределение с параметрами то двумерный случайный вектор подчиняется мультиномиальному распределению с параметрами

Если случайный вектор имеет мультиномиальное распределение с параметрами то вектор средних для X есть а элементы ковариационной матрицы X имеют вид (упр. 2)

Следующие свойства вытекают из определения мультиномиального распределения, данного в начале этого параграфа. Если X имеет мультиномиальное распределение (1), то маргинальное распределение каждой из его компонент является биномиальным с параметрами Далее, если независимые -мерные случайные векторы и X имеет мультиномиальное распределение с параметрами то сумма распределена по мультиномиальному закону с параметрами (упр. 3).