Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 9.10. Многомерное нормальное распределение с неизвестным вектором средних и неизвестной матрицей точности
Мы обобщим теперь теорему 1 § 9.6, рассмотрев задачу выбора из многомерного нормального распределения, для которого и вектор средних, и матрица точности неизвестны. Пусть выборочные значения наблюдений Обозначим через симметрическую неотрицательно определенную к х-матрицу, определяемую равенством
Теорема 1. Пусть повторная выборка из многомерного нормального распределения с неизвестным вектором средних и неизвестной матрицей точности Пусть, далее,
априорное совместное распределение таково, что условное распределение при является многомерным нормальным распределением с вектором средних и матрицей точности а маргинальное распределение R есть распределение уишарта с а степенями свободы и матрицей точности причем а симметрическая положительно определенная матрица. Тогда апостериорное совместное распределение описывается следующим образом. условное распределение при есть многомерное нормальное распределение с вектором средних и матрицей точности где
а маргинальное распределение R есть распределение Уишарта с а степенями свободы и матрицей точности
Доказательство. При функция правдоподобия пропорциональна функции, задаваемой правой частьр соотношения (10) § 9.9. Далее, из равенств (4) и (11) § 9.9 и формулы (1) следует, что сумму под знаком экспоненты в этой функции можно записать в виде
Априорная совместная п. р. в. удовлетворяет следующему условию:
Можно проверить, что
Последний член в соотношении (6) можно переписать так:
Из соотношений (10) § 9.9 и (4) — (7) получаем следующее соотношение для совместной параметров
В соотношении (8) функция в первых фигурных скобках, рассматриваемая как функция от должна быть пропорциональной условной п. р. в. М при так как не входит в выражение во вторых фигурных скобках. Эта функция пропорциональна п. р. в. многомерного нормального распределения, для которого вектор средних и матрица точности указаны в формулировке теоремы. Отсюда следует, что функция во вторых фигурных скобках пропорциональна маргинальной п. р. в. R и, таким образом, пропорциональна п. р. в. распределения Уишарта, приведенного в формулировке теоремы.
выборочные значения наблюдений 
Обозначим через 
симметрическую неотрицательно определенную к х-матрицу, определяемую равенством
повторная выборка из многомерного нормального распределения с неизвестным вектором средних 
и неизвестной матрицей точности 
Пусть, далее,
таково, что условное распределение 
при 
является многомерным нормальным распределением с вектором средних 
и матрицей точности 
а маргинальное распределение R есть распределение уишарта с а степенями свободы и матрицей точности 
причем а 
симметрическая положительно определенная матрица. Тогда апостериорное совместное распределение 
описывается следующим образом. условное распределение 
при 
есть многомерное нормальное распределение с вектором средних 
и матрицей точности 
где
степенями свободы и матрицей точности
функция правдоподобия 
пропорциональна функции, задаваемой правой частьр соотношения (10) § 9.9. Далее, из равенств (4) и (11) § 9.9 и формулы (1) следует, что сумму под знаком экспоненты в этой функции можно записать в виде
удовлетворяет следующему условию:
параметров
должна быть пропорциональной условной п. р. в. М при 
так как 
не входит в выражение во вторых фигурных скобках. Эта функция пропорциональна п. р. в. многомерного нормального распределения, для которого вектор средних и матрица точности указаны в формулировке теоремы. Отсюда следует, что функция во вторых фигурных скобках пропорциональна маргинальной п. р. в. R и, таким образом, пропорциональна п. р. в. распределения Уишарта, приведенного в формулировке теоремы.
