§ 7.7. Аксиоматический подход к полезности

В § 7.2 было предположено, что отношение задает полное упорядочение класса в всех финитных вероятностных распределений на множестве доходов . В этом параграфе мы продолжим изучение условий, которым должно удовлетворять отношение для того, чтобы на множестве R существовала функция со следующим свойством П:

Свойство Если два распределения из класса , то тогда и только тогда, когда

Другими словами, есть функция полезности для распределений класса в.

В дальнейшем мы используем следующие обозначения. Если распределения из и число а таково, что то распределение, приписывающее каждому множеству доходов вероятность будет обозначаться через . В частности, если и два дохода из то обозначает распределение из для которого доход имеет вероятность , а доход вероятность 1 — а. Далее, отметим, что если распределения из класса в, то и распределение принадлежит

Сформулируем теперь наше первое предположение.

Предположение Пусть и три произвольных распределения из класса такое число, что Тогда в том и только в том случае, если а

Это предположение является формализацией следующего свойства. Рассмотрим две лотереи, в которых распределения выигрышей суть соответственно . В обеих лотереях с вероятностью выигрыш распределен по закону Следовательно, эта общая черта двух лотерей несущественна при рассмотрении отношения предпочтения между ними.

Укажем три следствия нашего предположения.

Лемма 1. Пусть четыре распределения из класса причем и пусть

Тогда а Далее, если или то

Доказательство. Используя дважды предположение получаем

Далее, если или то по крайней мере одно из отношений предпочтения в (1) строгое.

Лемма 2. Если и два дохода из R, причем то

Доказательство. Для любого доход может быть записан в виде Отсюда выводим

Лемма 3. Для любых двух доходов из R, для которых и для любых двух чисел таких, что соотношения

и равносильны.

Доказательство. Достаточно показать, что если то верно (3). Пусть . Тогда и

Отсюда выводим

Согласно следующему предположению, незначительное изменение вероятностных распределений не изменяет отношения строгого предпочтения.

Предположение Пусть и три распределения из класса такие, Тогда найдутся числа которых

Одним из следствий предположения является следующее. Пусть доходы, для которых Тогда никакой доход не может быть полезным настолько, чтобы, какую бы малую положительную вероятность мы ему ни приписали,

выполнялось соотношение Аналогично если доходы со свойством то никакой доход не может быть столь невыгоден, чтобы при приписывании ему сколь угодно малой положительной вероятности он приводил к соотношению Фигурально выражаясь; в R нет ни «рая», ни «ада». В случае же наличия таких крайностей, предположение говорит о том, что статистик предпочитает уменьшить шансы на попадание в «рай» при небольшом риске попадания в для того чтобы увеличить возможность получения желаемого «заурядного» дохода. В этом свете предположение кажется эмпирически обоснованным.

Теорема 1. Пусть доходы из R, причем Тогда найдется единственное число такое, что

Доказательство. Если то Также если то Предположим, что и пусть и подмножества единичного интервала, определяемые следующим образом:

Согласно лемме 3, если то и если то Кроме того, ни одно из множеств непусто, так как Поэтому есть интервал вида интервал вида Далее, из предположения следует, что если то существует и меньшее число также принадлежащее . Следовательно, концевая точка не может принадлежать . Аналогично и а не может лежать в множестве

Поскольку множества не пересекаются, то в соответствии с их определением а Следовательно, существует число такое, что Так как у не принадлежит ни , ни то должно быть Поэтому число свойством, указанным в теореме, всегда существует, и в силу леммы 3 оно единственно.