§ 10.2. Несобственные априорные распределения для выборок из нормального распределения

Рассмотрим ситуацию теоремы 2 § 9.5, т. е. предположим, что повторная выборка из нормального распределения с известным значением среднего и неизвестной мерой точности Если в апостериорном гамма-распределении для указанном в теореме, а то предельное апостериорное распределение будет гамма-распределением с параметрами

То же самое апостериорное распределение можно получить исходя из несобственного априорного распределения. Если априорным распределением для является гамма-распределение с

параметрами то при априорная случайной величины удовлетворяет соотношению

Если в то формально (но только формально, так как мы опускаем нормирующий множитель, зависящий от получаем, что

Правая часть соотношения (2) представляет собой несобственную априорную плотность, так как интеграл от нее по всему пространству бесконечен. Можно показать, однако, что если несобственная априорная плотность задается соотношением (2), то апостериорное распределение является гамма-распределением с уже указанными параметрами.

Пусть случайная величина определена следующим образом:

Тогда из предыдущего следует, что условное распределение при есть -распределение с степенями свободы. Более того, как хорошо известно и легко проверяется, условное распределение при также является -распределением с степенями свободы. Следовательно, доверительный интервал для с коэффициентом доверия найденный с помощью условного распределения является также интервалом для апостериорная вероятность которого равна у.

В качестве другого примера с выборкой из одномерного нормального распределения рассмотрим ситуацию теоремы 1 § 9.6, где извлекалась повторная выборка из нормального распределения с неизвестными значениями среднего и меры точности Пусть в апостериорном совместном распределении указанном в теореме 1 § Тогда в предельном апостериорном распределении условное распределение при является нормальным со средним и мерой точности а маргинальное распределение гамма-распределением с параметрами При этом предполагается, что Отметим, что для того чтобы получить это апостериорное распределение, надонарушить условие теоремы 1 § 9.6 о том, что а именно а должно сходиться к отрицательному числу —1/2. Из рассуждений § 9.6 следует, что это же апостериорное совместное распределение можно получить исходя из несобственной априорной совместной плотности задаваемой на параметрическом пространстве

соотношением

Совместная плотность (4) является произведением равномерной плотности на вещественной прямой и плотности вида определенной для Другими словами, совместная плотность является произведением несобственных плотностей, которые уже рассматривались в случаях, когда неизвестно только или только

Пусть случайная величина определена соотношением

Из результатов § 9.6 и найденного выше предельного апостериорного совместного распределения следует, что условное распределение при является -рас-пределением с степенями свободы. Кроме того, из соотношения (3) § 4.12 видно, что условное распределение при есть -распределение с степенями свободы.

Пусть, далее, случайная величина задается равенством

Тогда из вида предельного апостериорного распределения следует, что условным распределением при является -распределение с степенями свободы. Как отмечалось в § 4.8, условное распределение при также есть -распределение с степенями свободы.

Из этих замечаний вытекает, что доверительные коэффициенты для стандартных доверительных интервалов для определяемые по условному распределению совпадают с вероятностями этих интервалов, вычисленными согласно предельному апостериорному распределению. Верно и аналогичное утверждение относительно доверительных интервалов для получаемых по условному распределению Другие случаи, когда это имеет место, были описаны Стоуном (1963).

Инвариантные априорный распределения. Возможность применения априорных плотностей вида (4), изучалась Джеффрисом (1961) который привел ряд аргументов в пользу представления с помощью этой плотности нечетких априорных знаний в научных исследованиях. Его доводы основаны, в частности, на следующем свойстве инвариантности этой плотности.

Если информация статистика относительно значения неопределенна, то неопределенна и информация относительно линейного преобразования где заданные постоянные Поэтому если уместно представлять априорные сведения об с помощью равномерной плотности на всей вещественной прямой, то столь же уместно считать, что и априорным сведениям об отвечает равномерное распределение на всей прямой. И действительно, из результатов о преобразованиях случайных величин, изложенных в § 3.7, следует, что если имеет равномерную плотность, то этим свойством обладает и Поэтому равномерная плотность удовлетворяет желаемому условию инвариантности.

Плотность меры точности R из (4) также удовлетворяет аналогичному свойству инвариантности. Если априорная информация статистика о значении R расплывчата, то неопределенны и априорные сведения об где а — заданная постоянная Можно показать (см. упр. 6а), что если плотность R пропорциональна то плотность пропорциональна Отсюда следует, что независимо от того, является ли неизвестной мерой точности, неизвестной дисперсией или неизвестным среднеквадратическим отклонением, плотность вида представляется удобной для выражения неопределенности в априорной информации об .

Наконец, следует заметить (см. упр. 66), что если плотность случайной величины R имеет при указанный выше вид, то случайная величина равномерно распределена на всей вещественной прямой. Поэтому из вида совместной плотности для (формула следует, что величины независимы и что равномерно распределены на всей прямой.

Инвариантные распределения рассматривались также Хартигэном (1964).