§ 3.8. Условные распределения

Пусть два случайных вектора, возможно различных размерностей, и их совместная о. в. п., Пусть, далее, обозначает маргинальную п. р. в. вектора точка, в которой Условная о. в. вектора X при заданном значении определяется для следующим образом:

Неважно, как задавать условную плотность для тех точек для которых так как эти точки образуют множество нулевой вероятности.

Отметим, что событие имеет нулевую вероятность, если хотя бы одна компонента вектора распределена абсолютно непрерывно. Следовательно, соотношение (1) является обобщением понятия условной вероятности из § 2.4. Следующий результат представляет собой соответствующее обобщение теоремы Байеса, приведенной в § 2.4. Он дает выражение для условной о. в. вектора при фиксированном значении через условную о. в. вектора X при заданном и маргинальную о. в. вектора Пусть, кроме того, обозначает маргинальную о. в. вектора

Теорема Байеса. Пусть два случайных вектора, и маргинальные о. в. п. и - условные о. в. п. {см. абзац выше). Тогда для всякой точки такой, что и для всех

Доказательство. Это сразу следует из того, что числитель дроби (2) есть совместная, в. а знаменатель есть

Условные математические ожидания. Пусть два случайных вектора и векторная интегрируемая функция от Условное математическое ожидание случайной величины при заданном определяется как функция случайного вектора

принимающая при значение задаваемое формулой

Другими словами, (3) дает среднее случайной величины для условного распределения X при фиксированном значении Весьма важными просто устанавливаемым фактом является следующее равенство:

Полезно также следующее тождество, связывающее условные средние и дисперсии. Пусть две случайные величины, причем и пусть обозначает функцию от У, равную при дисперсии случайной величины X при ее распределении с условной о. в. п. . Тогда имеет место равенство

Случайные выборки. В дальнейшем во всей книге мы будем рассматривать случайные величины и совместное распределение которых обладает следующими свойствами. Пусть случайная величина принимает значения в пространстве и ее о. в. п. Предположим, что при фиксированном значении случайные величины независимы и одинаково распределены с общей о. в. п. . Таким образом, условная совместная о. в. п. случайных величин при заданном значении есть произведение а маргинальная совместная о. в. п. величин задается формулой

Из теоремы Байеса следует, что условную о. в. п. случайной величины при заданных значениях для которых плотность в (6) положительна, можно записать в виде

Поскольку для семейства о. в. п. роль индекса играют возможные значения случайной величины эта величина называется параметром семейства. Условное совместное распределение при заданном значении параметра это по определению совместное распределение повторной выборки с о. в. п. .

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)