§ 4.12. Распределение Стьюдента

Случайная величина X имеет -распределение (распределение Стьюдента) с а степенями свободы если X распределена абсолютно непрерывно с п. р. в. имеющей при всех вид

Во многих статистических приложениях параметр а — натуральное число. В случае когда распределение (1) называют распределением Коши.

Важность распределения в статистике объясняется следующим обстоятельством. Если независимые случайные величины и X имеет стандартное нормальное распределение, имеет -распределение с степенями свободы, то случайная величина

подчиняется -распределению с степенями свободы (упр. 32). Из этого факта и из замечания в § 4.8 следует, что если случайная выборка из нормального распределения со средним и дисперсией то случайная величина

следует -распределению с степенями свободы.

Если случайная величина X имеет -распределение с а степенями свободы и то (упр. 33)

Удобно расширить семейство -распределений, добавив к нему все п. р. в., получаемые из п. р. в. (1) с помощью преобразований сдвига и изменения масштаба. Именно, говорят, что случайная, величина X имеет -распределение с а степенями свободы, параметром сдвига и мерой точности если п. р. в. случайной величины имеет вид (1). Понятно, что п. р. в. величины при всех задается равенством

Следует заметить, что параметр названный здесь мерой точности -распределения, не является величиной, обратной к дисперсии распределения. Действительно, как было замечено, дисперсия -распределения бесконечна при а 2.

В этом расширенном семействе -распределений закон с п. р. в. (1), т. е. тот закон, для которого иногда называется стандартизованным -распределением с а степенями свободы.