§ 11.3. Ущерб пропорциональный абсолютной величине погрешности

В предыдущем параграфе мы считали, что ущерб при оценивании вещественного параметра Непропорционален квадрату погрешности оценки. Здесь мы предположим, что ущерб пропорционален абсолютной величине погрешности. Таким образом, при

и ущерб имеет вид

Если функция потерь задается формулой (1), то байесовское решение при любом заданном распределении определяется как число минимизирующее математическое ожидание

Говорят, что число есть медиана распределения если Каждое распределение имеет хотя бы одну медиану, но не обязательно единственную.

Рис. 11.1. (а) Ф. в. с неединственной медианой, (б) П.р.в. с неединственной медианой.

На рис. 11.1 приведены ф. в. и п. р. в., у которых медиан много. В обоих случаях любое число такое, что является медианой.

Следующая теорема показывает, что для функции потерь (1) любая медиана распределения будет байесовской оценкой.

Теорема 1. Пусть . Число удовлетворяет соотношению

тогда и только тогда, когда — медиана распределения

Доказательство. Пусть медиана распределения любое другое число, такое, что Тогда

Поскольку при то

Последнее неравенство в (4) следует из того, что является медианой распределения Первое неравенство в (4) обращается в равенство тогда и только тогда, когда Последнее неравенство является равенством в том и только в том случае, когда

Вместе эти условия означают, что медиана. Таким образом, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда также медиана.

Для случая доказательство проводится аналогично.

Если рассматривается вектор наблюдений X, то статистик может построить байесовскую оценку выбирая для каждого наблюденного значения х вектора X в качестве медиану апостериорного распределения для

В качестве примера рассмотрим повторную выборку из нормального распределения с неизвестным значением среднего и заданной мерой точности Предположим, что надо оценить значение при функции потерь (1). При подходящем выборе системы единиц в этом равенстве Из теоремы 1 § 9.5 следует, что если априорное распределение нормальное со средним и мерой точности то для любых значений апостериорное распределение нормальное со средним и мерой точности Поскольку единственная медиана нормального распределения совпадает с его средним, то байесовская оценка определяется следующим образом:

Далее, байесовский риск равен

В соответствии с изложенным выше апостериорное распределение случайной величины будет нормальным со средним 0 и мерой точности независимо от значений Далее, если нормальная случайная величина со средним 0 и мерой точности то, как можно показать,

Таким образом, для любых значении среднее значение в правой части (6) равно Из соотношения (6) следует, что

Допустим теперь, что цена одного наблюдения равна с и статистик может выбирать объем выборки. Из равенства (8) видно тогда, что для выборки объема общий риск равен

и он минимизируется при

Разумеется, число должно быть неотрицательным и целым. Если то предельное значение в равенстве (10) будет оптимальным значением числа наблюдений в этой задаче для случая, когда априорная информация относительно незначительна.