§ 9.11. Маргинальное распределение вектора средних

Найдем теперь маргинальное распределение для случая, когда совместное распределение есть многомерное нормальное-Уишарта распределение, т. е. распределение вида, указанного в теореме 1 § 9.10. Если аналогия с результатами для одномерного случая, даваемыми теоремой 1 § 9.6, распространяется достаточна далеко, то соображения, изложенные после этой теоремы, подсказывают, что маргинальное распределение должно быть многомерным -распределением. Как мы покажем сейчас, это заключение верно.

Предположим, как и в теореме 1 § 9.10, что условное распределение при является многомерным нормальным с вектором средних и матрицей точности и что маргинальное распределение есть распределений Уишарта с а степенями свободы и матрицей точности Тогда совместную параметров заданную соотношением (5) § 9.10, можно записать следующим образом:

Маргинальная параметра получается отсюда интегрированием по к переменным, входящим в симметрическую матрицу по множеству, на котором эта матрица положительно определена. Для любого положительного и любой положительно определенной матрицы распределения Уишарта, задаваемая соотношением § 5.5, при интегрировании по такому множеству должна давать единицу. Поэтому интегрируя функцию в правой части (1) по указанному

множеству, мы получаем соотношение

Теперь применим следующий стандартный результат теории определителей (см. упр. 40): если А — невырожденная к -матрица, то для любого А-мерного вектора-столбца

Из соотношений (2) и (3) получаем

Переписав функцию в правой части (4) так, чтобы она имела вид многомерного -распределения, определяемого равенством (9) § 5.6, можно заключить, что имеет многомерное -распределение с степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности Это -распределение и будет (априорным) маргинальным распределением при априорном совместном распределении из теоремы 1 § 9.10. Апостериорное маргинальное распределение получается заменой значений в -распределении на их апостериорные значения, даваемые той же теоремой. Таким образом, число степеней свободы апостериорного распределения не зависит от наблюденных значений выборки. Однако вектор сдвига апостериорного распределения зависит от значения выборочного вектора средних а матрица точности апостериорного распределения зависит и от вектора и от матрицы построенной по выборке.