§ 3.7. Преобразования случайных величин

Предположим, что совместное распределение случайных величин абсолютно непрерывно с совместной п. р. в. . Нас будет интересовать совместная п. р. в. других случайных: величин каждая из которых является функцией от

Здесь будет приведен один типичный результат (см. Рао (1965)).

Пусть причем случайный вектор связан со случайным вектором X соотношением

Предположим, что существует некоторое множество » для которого выполнено следующее условие: Множество может быть представлено в виде объединения непересекающихся множеств , причем, каково бы ни было никаким двум различным значениям вектора X не отвечает одно и то же значение вектора Другими словами, мы предполагаем, что на каждом элементе разбиения преобразование, задаваемое уравнениями (1), является взаимно однозначным. Конечно, если преобразование взаимно однозначно на самом множестве то его и не надо разбивать на подмножества.

Пусть кобраз множества преобразовании (1). (Заметим, что множества могут пересекаться.) Пусть, далее, для к обратное преобразование множества в множество задается в точке равенствами

Мы предположим, что частных производных первого порядка каждой функции непрерывны. Напомним, что якобианом преобразования (2) множества называется определитель

Если предположить, что якобиан не обращается в нуль ни в какой точке то верно следующее. Для каждой точки значение п. р. в. вектора равно

Здесь абсолютная величина якобиана, а суммирование производится по всем значениям таким, что

Далее, для всех Тем самым значения определены во всех точках