§ 4.8. Гамма-распределение

Случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами если X распределена абсолютно непрерывно с п. р. в.

Гамма-функция входящая в соотношение (1), определяется: следующим образом:

Эта функция обладает следующим свойством (упр. 18):

Поскольку что может быть выведено из (2), формула дает для всех натуральных Во многих статистических приложениях приходится рассматривать гамма-функцию при целых или полуцелых значениях аргумента. Можно

показать, что Следовательно, для всех натуральных значение может быть получено из (3).

Если X — случайная величина с гамма-распределением, плотность которого задается формулой (1), то (упр. 19)

Пусть независимые случайные величины, причем имеет гамма-распределение с параметрами Тогда для любой постоянной случайная величина с подчиняется гамма-распределению с параметрами (упр. 20).

При распределение, определенное в (1), называется экспоненциальным распределением с параметром

Если натуральное число, то гамма-распределение с параметрами называется (хи-квадрат)-расределением с степенями свободы. Если случайные величины независимы и подчиняются стандартному нормальному распределению, то случайная величина имеет -распределение с степенями свободы (упр. 21).

Другой важный результат состоит в следующем. Пусть случайная выборка из нормального закона со средним и дисперсией Положим

Тогда величина имеет -распределение с степенями свободы; при этом случайные величины и X независимы.