§ 11.6. Проверка простой гипотезы о среднем значении нормального распределения

В качестве иллюстрации предыдущих соображений рассмотрим задачу с повторной выборкой из нормального распределения, для которого среднее значение неизвестно, а мера точности есть 1. Пусть некоторое фиксированное число, а априорное распределение удовлетворяет двум условиям: условное распределение при нормальное со средним и мерой точности (точка исключается из вещественной прямой Найдем апостериорное распределение при . В этой задаче функция правдоподобия есть

Далее, параметра при условии равна

Поэтому

Если теперь применить соотношение (3) § 11.5 и упростить получающееся соотношение, то получим равенство

Далее, согласно теореме 1 § 9.5, апостериорное условное распределение при условии будет нормальным распределением на прямой с исключенной точкой имеющим среднее и меру точности

Отношение (4) обладает рядом интересных свойств. Для очень больших значений оно близко к 0. Другими словами, существуют; значения х, для которых апостериорная вероятность события может быть сделана сколь угодно близкой к 1. С другой стороны, дифференцируя (4), мы видим, что максимум

достигается при

Для такого значения х максимальное значение нашего отношения равно

Из (5) и (6) следует, что для любого заданного объема выборки вероятность события ни при каких значениях наблюдений не может быть больше некоторого определенного значения. Однако в (6) имеется множитель больший 1. Поэтому при значениях х, близких к значению (5), апостериорная вероятность того, что больше априорной вероятности

Максимальное значение (6) исследуемого отношения будет наименьшим при Другими словами, увеличить вероятность события труднее всего, когда распределение при альтернативной гипотезе имеет среднее, равное Это обстоятельство исследуется далее в упр. 17. Из (6) видно, что при увеличении числа наблюдений можно получить больше данных в пользу гипотезы

Наконец, из соотношения (4) видно, что апостериорные вероятности довольно чувствительны к значению входящему в определение априорной Допустим, что статистик приписывает значение априорной вероятности того, что но не составил себе определенного мнения о том, как распределена на вещественной прямой остающаяся доля вероятностной меры. Он не может описать свое нечетное априорное представление о параметре, просто устремляя в формуле для априорной так как отношение (4) неограниченно возрастает при Это обстоятельство указывает на следующий важный факт. Если вероятность того, что «размазана» на вещественной прямой ввиду малости то даже сравнительно большие значения х увеличивают вероятность события . В статистической практике принято считать, что если наблюденное значение х уклоняется от больше 1 чем на три стандартных отклонения, или на единиц, то это — сильный аргумент против нулевой гипотезы Однако, как мы только что убедились, такие наблюдения могут свидетельствовать и в пользу нулевой гипотезы Этот вопрос обсуждается в работах Сэвиджа и др. (1962) и Эдвардса, Линдмэна и Сэвиджа (1963).

Типичной функцией потерь для рассматривавшейся выше задачи статистическогорешения может служить функция вида

Здесь а Другими словами, ущерб при решении пропорционален квадрату разности между и истинным значением Далее, ущерб от принятия решения равен 0, если - «правильное» решение, и если - «неправильное» решение. Если распределение задается вероятностью то риск отвечающий решениям с равен

Таким образом, байесовское решение при любом распределении указанного вида находится путем сравнения двух рисков. С помощью полученного апостериорного распределения параметра можно построить байесовскую решающую функцию по наблюдениям