§ 12.7. Неограниченные процедуры последовательного решения

Отбросим теперь предположение о том, что число наблюдений ограничено, т. е. рассмотрим задачи решения, в которых статистик может выбирать процедуры из всего класса процедур, удовлетворяющих условию (4) § 12.2, т. е. с вероятностью 1 оканчивающихся за конечное время.

В задачах последовательного решения такого рода, где нет верхней границы для числа наблюдений, при построении оптимальной процедуры последовательного решения метод индукции назад непосредственно не применим. На самом деле перед тем, как пытаться строить оптимальную процедуру последовательного решения, нам надо сначала установить существование оптимальной процедуры в классе Затем уже можно исследовать свойства оптимальной процедуры и обсуждать методы ее построения. Следует отметить, что в некоторых задачах, где статистик может пользоваться любой решающей процедурой, оптимальная процедура последовательного решения из класса в действительности ограничена. Однако даже это свойство зачастую трудно установить.

Мы рассмотрим общую задачу последовательного решения, т. е. задачу, уже исследовавшуюся в используя обозначения этих параграфов. Таким образом, мы предполагаем, что каждое из наблюдений стоит с единиц и риск байесовского решения из когда апостериорная о. в. п. параметра есть равен Так как мы считаем, что функция потерь неотрицательна, то для всякой о. в. п. Для доказательства существования оптимальной процедуры последовательного решения можно потребовать, чтобы функция была ограничена снизу. Достаточно,

однако, предположить, что мажорирует некоторую подходящую функцию; условие неотрицательности также может, быть несколько ослаблено.

Эквивалентность процедур статистического решения и моментов остановки. Мы считаем, что при окончании выбора статистик всегда принимает байесовское решение из Поэтому всякая процедура последовательного решения определяется заданием правила остановки. Для каждой бесконечной последовательности значений обозначим через общее числа наблюдений, проводимых до окончания выбора, если последовательно были наблюдены значения Таким образом, если то выбор оканчивается посл -го наблюдения, но не раньше.

Решение о продолжении или окончании выбора после проведения первых наблюдений, очевидно, должно зависеть толька от значений этих наблюдений, а не от значений каких-либо последующих наблюдений. Поэтому, если для некоторой бесконечной последовательности другая бесконечная последовательность, для которой при то . В частности, решение вопроса о том, делать первое наблюдение или принимать решение из без наблюдений, должно быть вынесено до начала выбора. Поэтому или для всех последовательностей или не существует ни одной последовательности для которой это равенство выполнено.

Функция заданная на пространстве всех бесконечных последовательностей и удовлетворяющая указанным свойствам называется моментом остановки. Если процедура последовательного решения из класса А, то с вероятностью 1 выбор рано или поздно окончится. Поэтому значения момента остановки конечны для каждой бесконечной последовательности за возможным исключением некоторых последовательностей, образующих событие нулевой вероятности. Обратно, всякий момент остановки с конечными, за возможным исключением события нулевой вероятности, значениями определяет процедуру последовательного решения из класса А. Таким образом, процедуры последовательного решения эквивалентны моментам остановки. В силу этой эквивалентности мы можем использовать один и тот же символ для обозначения как процедуры, так и соответствующего момента остановки.

Далее, момент остановки можно интерпретировать как случайное число наблюдений, требуемых данной процедурой. Поэтому мы будем обозначать через и процедуру последовательного решения, и случайное число наблюдений, проводимых согласно этой процедуре. Для процедуры и априорного

распределения параметра общий риск может быть теперь записан в виде

После наблюдения значений в соответствии с предписанием процедуры средний риск от продолжения процедуры включая цену первых наблюдений, можно обозначить через Как мы уже отмечали, события можно рассматривать не только как подмножества пространства но и как подмножества пространств или пространства . Если то

В следующих двух параграфах мы докажем существование оптимальной процедуры решения т. е. процедуры со свойством