§ 10.3. Несобственные априорные распределения для выборок из многомерного нормального распределения

Рассмотрим ситуацию теоремы 1 § 9.9, где повторная выборка из -мерного нормального распределения с неизвестным значением вектора средних и заданной матрицей точности Так же как и в случае одномерного распределения пусть в апостериорном распределении где обозначает матрицу, все элементы которой равны ; это эквивалентно тому что плотность априорного распределения выбирается равномерной на всем пространстве Тогда, как легко видеть, апостериорное распределение будет многомерным нормальным с вектором средних х и матрицей точности

Пусть случайный вектор задается равенством Тогда условное распределение при и условное распределение при являются оба многомерными нормальными с вектором средних 0 и матрицей точности Отсюда следует, что если для построено доверительное множество на основе случайного вектора с доверительным коэффициентом у, то вероятность этого множества при апостериорном распределении будет как раз равна у.

Рассмотрим теперь ситуацию теоремы 1 § 9.10, где из -мерного нормального распределения с неизвестными вектором средних и матрицей точности R извлекалась повторная выборка причем предполагалось, что Если в апостериорном совместном многомерном нормальном распределении Уишарта указанном в теореме, то в пределе получаем такое совместное распределение, что условное распределение при является многомерным нормальным с вектором средних х и матрицей точности а маргинальное распределение R есть распределение Уишарта с степенями свободы и матрицей точности задаваемой формулой (1) § 9.10. Отметим, что для того чтобы получить это апостериорное распределение, надо нарушить условие фигурирующее в теореме 1 § 9.10, поскольку параметр а должен стремиться к —1.

Далее, из соотношений (5) и (8) § 9.10 видно, что это же апостериорное совместное распределение получается в предположении, что несобственная априорная совместная плотность вектора и матрицы R имеет вид

Плотность (1) можно интерпретировать как произведение плотности по равномерной на всем пространстве и плотности по пропорциональной функции из правой части

Из результатов § 9.11 следует, что при указанном апостериорном распределении случайный вектор имеет маргинальное многомерное -распределение к степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности Пусть случайная матрица равенством

а случайная величина равенством

Тогда [см. формулу (16) § 5.6] условное распределение при есть -распределение с к степенями свободы.

Говорят, что случайная величина У имеет -распределение Хотпеллинга с степенями свободы если случайная величина имеет -распределение с степенями свободы. Если случайная величина определяется равенством

то, как видно из (3), условное распределение при есть -распределение Хотеллинга с степенями свободы. Далее, известно [см. Шеффе (1959), приложение 5, или Андерсон (1958), гл. 5], что условное распределение при заданных значениях также является -распределением Хотеллинга с степенями свободы.

Теперь мы можем построить в пространстве эллипсоид который содержит с заданным доверительным коэффициентом , или, что то же самое, с заданной вероятностью , отвечающей апостериорному распределению Пусть фиксировано такая постоянная, что если случайная величина имеет -распределение с к степенями свободы, то Далее, если наблюденные значения выборочного вектора средних X и матрицы множество точек удовлетворяющих соотношению

то поскольку матрица положительно определена, представляет собой эллипсоид в Из (3) и (4) следует, что доверительный эллипсоид для с доверительным коэффициентом и что апостериорная вероятность того, что будет лежать внутри равна .