§ 5.5. Распределение Уишарта

Пусть случайная выборка, состоящая из -мерных векторов, распределенных по многомерному нормальному закону с вектором средних 0 и ковариационной матрицей размера к Пусть, далее, V обозначает случайную симметрическую к -матрицу, определяемую равенством

Эта случайная матрица V имеет распределение Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей . Всюду далее мы будем считать, что и матрица невырождена. При выполнении этих условий распределение Уишарта называется невырожденным и может быть задано с помощью п. р. в. следующим образом.

Поскольку матрица V симметрическая, то она может быть представлена в виде

где Следовательно, случайная матрица У задается к различными случайными величинами которые лежат на главной диагонали и над ней. Если невырождена, то, как можно показать, совместное распределение случайных величин абсолютно непрерывно и потому может быть определено совместной п. р. в. этих величин в

Значения случайных величин определяют как вектор так и симметрическую -матрицу

Поэтому совместную п. p. в. различных случайных величин можно считать определенной не в а на множестве симметрических матриц вида (3). Далее, удобно называть совместную п. р. в. этих величин просто п. р. в. случайной симметрической матрицы Важно, однако, при этом иметь в виду, что хотя функция и будет называться п. р. в. случайной матрицы V и рассматриваться как функция от симметрических матриц она на самом деле является совместной п. р. в. различных случайных величин и задана на пространстве

Можно показать, что если и матрица невырождена, то с вероятностью 1 случайная матрица V из (2) положительно определена. Поэтому для всех матриц которые не являются симметрическими положительно определенными, Для всякой же симметрической положительно определенной к X-матрицы

В этом равенстве обозначает след матрицы а постоянная с равна

Соотношения (4) и (5) задают п. р. в. невырожденного распределения Уишарта размерности к степенями свободы и параметрической матрицей .

Пусть S есть множество симметрических положительно определенных к -матриц. Так как каждая такая матрица определяется к различными элементами, то S можно рассматривать как подмножество в Поскольку интеграл от п. р. в. по пространству должен равняться 1, равенство (5) равносильно следующему равенству:

Вывод формул (4) — (6), так же как и некоторых других свойств распределения Уишарта, упомянутых в этом параграфе, имеется в книгах Андерсона (1963), Уилкса (1967) и Рао (1965).

Важность распределения Уишарта объясняется в основном следующим известным фактом. Пусть случайная выборка, состоящая из -мерных случайных векторов с многомерным нормальным распределением, вектор средних которого равен а ковариационная матрица . Определим вектор -матрицу S формулами

Тогда случайный вектор X и случайная матрица S независимы, X имеет многомерное нормальное распределение с вектором средних и ковариационной матрицей распределение Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей 2. Из этого факта, а также и из формулы (1) видно, что распределение Уишарта по существу является многомерным обобщением -распределения.

Предположим, что случайная к X-матрица V имеет распределение Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей . Из представления (1) нетрудно вывести следующие три свойства (см. упр. 15): (1) Математическое ожидание V дается формулой Если А — некоторая -матрица, то случайная -матрица имеет распределение Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей Предположим, что матрицы разбиты на блоки следующим образом:

где квадратные матрицы одной и той же размерности.

Тогда случайная матрица распределена по закону Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей

Далее (упр. 16), пусть независимые случайные -матрицы и имеет распределение Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей Тогда сумма также имеет распределение Уишарта с степенями свободы и параметрической матрицей 2.

Если случайная -матрица V следует распределению Уишарта с п. р. в. (4), то для ее можно указать следующий простой вид. Для правильной интерпретации функции нужно, конечно, привлечь те же соображения, что и использовавшиеся при трактовке п. р. в. (4). Таким образом, в действительности это совместная х. ф. различных случайных величин задающих V, так что является функцией к вещественных переменных Эти переменные определяют симметрическую матрицу

Поэтому x. ф. можно рассматривать как функцию, заданную на множестве симметрических матриц вида (8). При этом

Матрица точности невырожденного распределения Уишарта с параметрической матрицей 2 определяется равенством

Как уже отмечалось по поводу нормального закона, нам в дальнейшем будет удобнее задавать распределение Уишарта числом степеней свободы и матрицей точности нежели . Таким образом, если -матрица V имеет распределение Уишарта с степенями свободы и матрицей точности то ее п. р. в. определяется для симметрических положительно определенных к -матриц у соотношением

Значение постоянной с указано в (5). Для любой симметрической матрицы которая не является положительно определенной,