§ 5.6. Многомерное t-распределение

Предположим, что -мерный случайный вектор распределен по многомерному нормальному закону с вектором средних 0 и матрицей точности а случайная величина имеет -распределение с степенями свободы, причем независимы. Пусть обозначает некоторый вектор из и пусть случайный вектор определен следующим образом:

Тогда говорят, что X имеет многомерное -распределение с степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности Найдем вид п. р. в. вектора X.

Для всех вектора имеет вид

Далее, для всех значение п. р. в. случайной величины равно

Поскольку независимы, то их совместная п. р. в. при всех является произведением, плотностей (2) и (3). Во всех других точках имеем

Вычислим теперь совместную случайного вектора X и случайной величины Из (1) следует, что

Поэтому якобиан преобразования к случайных величин случайных величин является определителем треугольной матрицы и равен

Подставляя значения из соотношения (4) в совместную умножая на и группируя соответствующие члены, получаем для всех и всех

Здесь

Искомую п. р. в. вектора X можно получить теперь как маргинальную п. р. в. интегрированием совместной п. р. в. (6) по всем положительным значениям Из определения гамма-функции (2) § 4.8 следует, что для всех чисел

Значит, при всех

где

Соотношения (9) и (10) задают п. р. в. -мерного -распределения с степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности

Это распределение является -мерным обобщением одномерного -распределения, введенного в § 4.12; если то п. р. в., определяемая формулами (9) и (10), совпадает с одномерной п. р. в. (5) § 4.12. Конечно, этот результат можно было бы предсказать сразу, исходя из определения многомерного -распределения, данного в начале этого параграфа, и соответствующего свойства одномерного -распределения, приведенного в упр. 32 гл. 4.

Если X имеет многомерное -распределение с п. р. в., задаваемой равенствами (9) и (10), то при существуют вектор средних и ковариационная матрица равные (упр. 18)

Далёе, из соотношения (1) и соответствующих свойств многомерного нормального закона, указанных в § 5.4, можно получить вид маргинального распределения любого подмножества компонент вектора X (упр. 19). А именно, предположим, что вектор X представлен в виде

Здесь размерность X равна Предположим также, что вектор сдвига и матрица точности имеют вид

Здесь размерность равна подматрица имеет размер Тогда маргинальное распределение является -мерным -распределением с степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности

Условное распределение при фиксированном также является -мерным -распределением, но имеет довольно сложный вид. Изменяется число степеней свободы, и как вектор сдвига, так и матрица точности условного распределения зависят от Более точно (упр. 20), условное распределение имеет степеней свободы, его вектором сдвига будет

а матрицей точности

Мы будем в дальнейшем использовать следующий факт. Если случайный вектор X имеет -мерное -распределение с п. р. в., даваемой формулами (9) и (10), то случайная величина

подчиняется -распределению с степенями свободы, введенному в § 4.13 (упр. 21).

Обширная библиография по многомерному нормальному закону и многомерному -распределению была составлена Гуптой (1963).