§ 14.18. Примеры достаточных экспериментов
В этом параграфе мы проиллюстрируем понятие достаточного эксперимента на трех примерах.
ПРИМЕР 1. Предположим, что параметр Сможет принимать всего два значения 
и а случайные величины 
определяются следующим образом. Случайная величина X принимает значения 0 и 1 с вероятностями
Если 
то случайная величина У равномерно распределена на интервале (0, 1); если же 
она равномерно распределена на интервале 
В этом примере случайная величина 
достаточна для X. Чтобы обнаружить этот факт, введем случайную величину 
формулой
Непосредственно проверяется, что 
имеет то же распределение, что и X, как в случае 
так и в случае 
Другое доказательство достаточности У для X можно получить, явно построив функцию 
, удовлетворяющую условиям (6) — (8) § 14.17.
Рассмотрим теперь задачу статистического решения, в которой статистик должен выбрать решение 
из данного пространства решений и в которой его ущерб зависит от значения параметра 
и от выбранного решения 
Предположим, что статистик может провести перед принятием решения 
последовательных наблюдений, причем на каждом из 
шагов он может наблюдать X или У. Тогда, согласно оптимальной процедуре, надо проводить все наблюдения над У.
ПРИМЕР 2. Пусть параметр 
принимает два значения 
а случайные величины 
принимают значения 0 и 1, причем
Докажем, что эксперимент У достаточен для X, и заодно продемонстрируем другой метод установления достаточности эксперимента.
Нам надо показать (см. условие (6) § 14.17.), что найдется неотрицательная функция 
для которой как при 
так и при 
выполнены следующие соотношения:
Поскольку 
может принимать два значения, 0 или 1, (4) является фактически системой из четырех уравнений для четырех неизвестных 
Но мы знаем, что 
при 
кроме того, в силу условия (7) § 14.17 
Поэтому достаточно решить пару уравнений, отвечающих случаю 
в (4). Подставляя численные значения, находим
Единственное решение этих уравнений таково: 
Отсюда следует, что, 
Так как каждое из этих чисел лежит в интервале [0, 1], то функция 
задает стохастическое преобразование 
Значит, эксперимент 
достаточен для 
Общие условия, при которых одна случайная величина достаточна для другой в эксперименте с двумя исходами, вроде рассмотренного здесь, приведены в упр. 19.
ПРИМЕР 3. Предположим, что параметр 
принимает произвольные вещественные значения, а 
случайные величины со следующими распределениями; при всяком фиксированном значении 
параметра 
случайная величина X нормально распределена со средним 
и дисперсией 3, а случайная величина 
нормально распределена со средним 
и дисперсией 1. Так как дисперсия 
меньше, то понятно, что наблюдение над 
доставляет больше информации о значении 
чем наблюдение 
Мы формализуем это утверждение, показав, что случайная величина 
достаточна для 
Пусть 
случайная величина, не зависящая от 
нормально распределенная со средним 0 и дисперсией 2. Тогда при всяком фиксированном значении 
случайная величина 
имеет то же распределение, что и X, откуда и следует достаточность Y для X.
Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Достаточные эксперименты обсуждаются в книгах Блекуэлла и Гиршика (1954), гл. 12, и Лемана (1959), § 3.4, а также в лекциях Сакагути (1964, 1966), в которых рассмотрены некоторые из обсуждавшихся в этой и предыдущей главах задач. На более абстрактном уровне эти вопросы изучались Ле Камом (1964), Штрассеном (1965), Морсом и Сакстедером (1966) и Сакстедером (1967).
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
