§ 9.12. Распределение коэффициента корреляции

Пусть две случайные величины, совместное распределение которых есть двумерное нормальное распределение с матрицей точности и пусть элементы -матрицы определены соотношением

Поскольку матрица точности обратна к матрице ковариаций случайных величин то коэффициент корреляции этих величин задается равенством

Пусть теперь значение матрицы точности неизвестно. В соответствии с результатами предыдущего параграфа мы считаем, что

R имеет распределение Уишарта с а степенями свободы и симметрической положительно определенной матрицей точности

В этом параграфе мы найдем распределение коэффициента корреляции Оказывается, это распределение в общем случае весьма сложно; оно не является ни одним из стандартных распределений, рассмотренных в этой книге, и п. р. в. содержит некоторый интеграл, не берущийся в элементарных функциях. Однако если то затруднений не возникает и п. р. в. имеет простой вид.

Пусть с — постоянная, определяемая равенством (5) § 5.5 при Совместная трех случайных величин Ли, положительна для любых значений таких, что Для этих значений

Пусть случайная величина, определяемая формулой

Мы вычислим совместную п. р. в. трех случайных величин Эта п. р. в. положительна для любых значений таких, что Исходные переменные можно выразить через переменные следующим образом:

Поэтому, переходя от переменных к переменным мы видим, что якобиан этого преобразования будет детерминантом -матрицы, у которой элементы по одну сторону главной диагонали — нули. Таким образом, значение задается равенством

Заменяя переменные в равенстве (4) на и умножая результат на получаем следующее соотношение:

Маргинальная совместная п. р. в. случайных величин может быть получена интегрированием п. р. в., заданной формулой (8), по положительным значениям Пусть

Тогда в результате интегрирования получим

Наконец, для любого значения такого, что маргинальная п. р. в. величины определяется равенством

В общем случае это интегрирование не может быть выполнено в элементарных функциях.

Однако если допустить, что в матрице точности исходного распределения Уишарта для R, то, как видно из равенства (10), совместная п. р. в. разлагается в произведение функции от у и функции от Поэтому случайные величины независимы и п. р. в. величины имеет следующий простой вид:

Здесь нормирующая постоянная.

Распределение коэффициента корреляции изучалось Линдли (1965), § 8.2.