Главная > Оптимальные статистические решения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 10.5. Сходимость апостериорных распределений

В остальной части этой главы мы изучим некоторые предельные свойства апостериорных распределений, когда число наблюдений в повторной выборке стремится к бесконечности. Мы покажем, что если повторная выборка из распределения с неизвестным значением некоторого параметра и если значение в действительности равно то при некоторых условиях апостериорное распределение будет при все больше концентрироваться вокруг значения

Рассмотрим простой пример, когда параметр принимает лишь конечное число значений Предположим, что при и пусть для каждого заданного значения случайные величины образуют повторную выборку из распределения с о. в. п. Предположим, что все о. в. п. различны в том смысле, что если S обозначает выборочное пространство, отвечающее одному наблюдению, то

Для наблюденных значений пусть обозначает апостериорную вероятность того, что Таким образом, эта апостериорная вероятность равняется

Предположим теперь, что образуют в действительности повторную выборку из распределения с о. в. п. , где одно из значений Покажем, что с вероятностью 1 справедливы следующие предельные соотношения:

и

Другими словами, при апостериорная вероятность сосредоточивается в истинном значении параметра

Основным результатом для задач с большими выборками является усиленный закон больших чисел, который может быть сформулирован следующим образом.

Усиленный закон больших чисел. Пусть последовательность независимых и равнораспределенных случайных величин, среднее каждой из которых равно Тогда с вероятностью 1

Доказательство этого результата имеется в книгах Феллера (1957), гл. 10, и (1966), гл. 7, Лоэва (1963), § 16, и Рао (1965), гл. 2. Он понадобится нам для доказательства соотношений (3) и (4).

Для любого фиксированного значения пусть определено равенством

Здесь X обозначает отдельное наблюдение и математическое ожидание вычисляется в предположении, что Среднее не обязательно конечно, но так как плотности и различны, то в силу неравенства Йенсена

Поэтому либо конечное отрицательное число, либо может быть приписано значение В любом случае из усиленного закона больших чисел следует, что с вероятностью 1

Следовательно,

Соотношение же (9) равносильно тому, что при с вероятностью 1

равенства (3) и (4) следуют теперь из (10) и из вида апостериорной вероятности

Предельные результаты такого типа для апостериорных распределений верны во многих задачах. Рассмотрим ситуацию теоремы 1 § 9.5, где повторная выборка из нормального распределения с неизвестным значением среднего и заданной мерой точности В § 9.5 было показано, что среднее апостериорного распределения является взвешенным средним выборочного среднего X и среднего значения априорного распределения и что мера точности апостериорного распределения возрастает на единиц при каждом наблюдении.

Предположим теперь, что на самом деле выборка из нормального распределения со средним Если то относительный вес X в формуле для стремится к 1. Согласно усиленному закону больших чисел, с вероятностью Поэтому с вероятностью 1. Далее, дисперсия апостериорного распределения стремится к 0. Отсюда видно, что апостериорное распределение сходится к вырожденному распределению, сосредоточенному в точке и апостериорная вероятность всякого открытого интервала, содержащего стремится к 1. Другие примеры приведены в упр. 19—21.

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Сходимость апостериорных распределений к истинному значению параметра при можно доказать и для более общих параметрических пространств Однако относительно априорного распределения параметра и семейства о.в.п. приходится делать те или иные дополнительные предположения. Эта тематика имеет давнюю историю, ею занимался еще Лаплас. Из работ по этой тематике и смежным вопросам укажем книгу фон Мизеса (1964), гл. 7, статью Берка (1966) и работы более абстрактного характера: Блекуэлл и Дьюбинс (1962), Фридмэн (1963, 1965), Фейбиус (1964) и Л. Шварц (1965).

1
Оглавление
email@scask.ru