§ 9.6. Выборка из нормального распределения с неизвестным средним и неизвестной мерой точности

Мы рассмотрим теперь важную проблему выбора из нормального распределения, у которого среднее и мера точности неизвестны.

Сопряженным семейством в этой задаче должно быть некоторое семейство двумерных распределений.

Теорема 1. Пусть повторная выборка из нормального распределения с неизвестным значением среднего и неизвестным значением меры точности Пусть, далее, априорное совместное распределение таково: условное распределение при — нормальное со средним и мерой точности а маргинальное распределение R есть гамма-распределение с параметрами Тогда, апостериорное совместное распределение при имеет следующий вид: условное распределение при нормальное со средним и мерой точности

а маргинальное распределение R есть гамма-распределение с параметрами а где

Доказательство. При пусть значение функции правдоподобия при и пусть обозначает п. р. в. М и R. Тогда

и

Апостериорная п. р. в. , параметров пропорциональна произведению правых частей соотношений (3) и (4). Из равенств (3) и (6) § 9.5 следует, что эта п. р. в. может быть задана соотношением

Здесь определяется равенством (1), равенством (2).

Функция в фигурных скобках в соотношении (5), рассматриваемая как функция от должна быть пропорциональна условной при известном так как переменная не входит в выражение в круглых скобках справа. Но для каждого фиксированного значения функция в фигурных скобках пропорциональна п. р. в. нормального распределения, среднее значение и мера точности которого заданы в условиях теоремы. Отсюда следует, что функция, стоящая в круглых скобках, должна быть пропорциональной маргинальной п. р. в. R. Поэтому маргинальное распределение R есть гамма-распределение, параметры которого указаны в формулировке теоремы.

Если совместная п. р. в. параметров есть п. р. в. нормального-гамма распределения, задаваемого соотношением (4), то условное распределение для любого заданного значения будет нормальным, но маргинальное распределение М

таковым не будет. Маргинальная п. р. в. параметра определяется равенством

Поэтому если, воспользовавшись символом пропорциональности опустить все множители, не содержащие то из (4) получим что имеет следующий вид:

или

Сравнивая функцию, задаваемую соотношением (8), с п. р. в. -распределения (5) из § 4.12, видим, что маргинальное распределение есть -распределение с степенями свободы, параметром сдвига и мерой точности Апостериорное маргинальное распределение получается заменой их апостериорными значениями, даваемыми теоремой 1. Таким образом, хотя число степеней свободы апостериорного распределения не будет зависеть от наблюденных значений параметр сдвига и точность апостериорного распределения них зависят.

Интересной чертой сопряженного семейства для совместного распределения является то, что при любом нормальном гамма-распределении из этого семейства величины зависимы. Не существует в этом семействе такого совместного распределения, что распределено нормально, имеет гамма-распределение независимы. Это не является серьезным недостатком данного семейства. В самом деле, если бы даже априорное распределение устанавливало независимости этих величин, согласно апостериорному распределению, после одного наблюдения они были бы зависимы.

Другим интересным обстоятельством является то, что для каждого распределения из сопряженного семейства мера точности условного распределения при должна быть пропорциональна Другими словами, априорное распределение должно обладать следующим свойством: если статистику внезапно становится известным, что где некоторое большое число, то, располагая этим сведением об он может указать значение с высокой точностью. С другой стороны, если статистику становится известным, что где мало, то распределение, приписываемое им будет иметь большую дисперсию. Эта

также не является существенным недостатком сопряженного семейства. В самом деле, пусть статистику известно значение одного случайного наблюдения из нормального распределения. Если значение меры точности R распределения велико, то наблюдение дает очень точную информацию о значении среднего если же значение R мало, то одно наблюдение дает мало информации о значении

Числовой пример. Рассмотрим нормальное распределение, в котором среднее и мера точности R неизвестны, и предположим, что статистик хочет выбрать нормальное-гамма распределение из сопряженного семейства в качестве априорного распределения Пусть он считает Какие значения нужно выбрать для параметров априорного распределения? Поскольку R имеет гамма-распределение с параметрами значения могут быть найдены из соотношения (4) § 4.8. Далее, поскольку Наконец, поскольку имеет -распределение с 2а степенями свободы и мерой точности то из соотношения (4) § 4.12 следует, что

Отсюда Этим завершается определение априорного распределения.

Теперь предположим, что из данного нормального распределения извлечена повторная выборка из 10 наблюдений и найдено, что Тогда по теореме 1 параметры апостериорного распределения равны: Отсюда вытекает, что апостериорные средние и дисперсии для таковы:

Далее, предположим, что проведено еще 10 наблюдений из данного нормального распределения, причем . Рассматривая апостериорные распределения, которые мы только что перед этим нашли, как априорные распределения для этих новых наблюдений, мы получим для параметров нового апостериорного распределения значения: Поэтому средние и дисперсии параметров будут таковы:

Поскольку распределение имеет теперь 26 степеней свободы, параметр сдвига 4,33 и меру точности 36,9, по таблицам

-распределения находим

или