§ 10.12. Апостериорные отношения
Как мы видели в предыдущих параграфах, интересующие нас апостериорные распределения параметров часто являются приближенно нормальными. Поэтому предположим здесь, что апостериорное распределение некоторого 
-мерного вектора 
является многомерным нормальным распределением с вектором средних 
и матрицей точности 
Предположим, что статистик хочет знать, насколько правдоподобно, что 
лежит в окрестности некоторой заданной точки 
Конечно, вероятность попадания 
в любую заданную область 
можно вычислить по апостериорному нормальному распределению. Для малых областей, однако, эта вероятность близка к нулю. Статистику важно на самом деле сравнить вероятность небольшой окрестности точки 
с вероятностью другой такой же малой области в 
Другими словами, он хочет знать, есть ли в 
точка, окрестность которой имеет вероятность много большую, чем соответствующая окрестность точки 
Так как вероятность малой области, содержащей точку 
равна приближенно значению 
в точке 
умноженному на 
-мерный объем этой области, статистика интересует отношение 
Это отношение максимального значения п. р. в. 
к значению 
и является приближенно отношением вероятностей малых множеств, одно из которых содержит среднее 
а другое — точку 
Поскольку 
является п. р. в. многомерного нормального закона с вектором средних 
и матрицей точности 
то при всех 
Таблица 10.1 (см. скан) Значения 
Отношение (1) можно вычислять с помощью таблицы 10.1, дающей значения 
для различных значений х.
Из таблицы 10.1 видны некоторые свойства нормальной п. р. в., на которые редко обращают внимание. Если 
имеет одномерное нормальное распределение, то, как следует из таблицы 10.1, максимальное значение п. р. в. W в 7,39 раз больше, чем значение в точке, отстоящей на два среднеквадратических отклонения от среднего, в 90 раз больше, чем в точке, расположенной на расстоянии трех среднеквадратических отклонений от среднего, и почти в 3000 раз больше, чем в точке, удаленной от среднего на четыре среднеквадратических отклонения.
Одним из недостатков указанного подхода с использованием отношения двух отдельных значений п. р. в. параметра 
является то, что это отношение не остается постоянным при замене 
на новый параметр. Например, пусть 
где 
взаимно однозначное преобразование, и пусть 
п. р. в. параметра 
Тогда, если только 
не есть линейная функция, отношения 
не обязаны совпадать при всех 
Однако во многих приложениях нас интересует апостериорная п. р. в. 
или когда произведено большое число наблюдений. В таких случаях 
с большой вероятностью лежит в маленьком интервале. Если функция 
дифференцируема, то в этом интервале ее можно с большой точностью приблизить линейной функцией, и поэтому для значений 
из этого промежутка отношения, вычисленные для функций 
и приблизительно равны.
