§ 12.8. Регулярные процедуры последовательного решения

Процедура решения называется регулярной, если и для всех точек выполнено при следующее соотношение:

Другими словами, если, согласно процедуре надо сделать хотя бы одно наблюдение, то риск, отвечающий меньше риска от принятия репцения из без наблюдений. Далее, если, согласно надо провести следующее наблюдение, то средний общий риск от продолжения выбора должен быть меньше, чем риск, отвечающий остановке. Из этих замечаний видно, что у нерегулярных процедур существуют шаги, на которых надо продолжать наблюдение, хотя общий риск мог бы быть уменьшен за счет остановки. Поэтому, как мы покажем в следующей теореме, статистик может ограничиться рассмотрением одних регулярных процедур решения.

Теорема. 1. Если — нерегулярная процедура решения, то найдется регулярная процедура решения такая, что

Доказательство. Если то мы можем определить как регулярную процедуру, в которой решение из принимается без наблюдений.

Предположим поэтому, что, согласно процедуре надо сделать хотя бы одно наблюдение и Пусть процедура, требующая прекращения процесса выбора, как только

наблюденные значения перестают удовлетворять неравенству (1).

Если то обе части 1) совпадают. Следовательно, т. е. процедура никогда не требует большего числа наблюдений, чем процедура Так как то и Далее, из определения процедуры и основных свойств математического ожидания выводим

Следовательно,

Нам осталось показать, что процедура регулярна. Если то выполнено неравенство (1) и рассуждения, аналогичные проведенным при получении соотношения (2), показывают, что

Отсюда следует, что регулярная процедура.