§ 3.6. Математические ожидания, моменты и характеристические функции

Математическое ожидание случайной величины X с ф. p. F определяется равенством

Говорят, что математическое ожидание существует в том и только в том случае, когда существует интеграл в (1). Математическое ожидание случайной величины X называют также средним значением (или просто средним) случайной величины

Более общим образом, предположим, что случайный вектор с ф. p. F, и пусть интегрируемая функция от Математическое ожидание определяется соотношением

Это определение математического ожидания корректно в силу следующего обстоятельства: если — случайная величина, задаваемая равенством и ее ф. р., то интеграл в (2) равен интегралу

Для всякой случайной величины X и всякого натурального числа среднее называется моментом Моменты относительно среднего значения называются центральными моментами Конечно, для некоторых случайных величин существуют не все эти математические ожидания.

В частности, дисперсия случайной величины X — это второй центральный момент, определяемый соотношением

Стандартным отклонением называют квадратный корень из Если то коэффициентом вариации X называют отношение

Для любых двух случайных величин их ковариация определяется следующим образом:

В частности, Коэффициентом корреляции между называется отношение

Если величина (7) равна, нулю, то говорят, что некоррелированы.

Рассмотрим матрицу

в которой каждый элемент неслучайная величина. Среднее матрицы определяется как матрица, элементы которой равны математическим ожиданиям соответствующих элементов матрицы Итак,

В частности, для всякого случайного вектора вектор средних есть

Матрицей ковариаций (или ковариационной матрицей) вектора X называется симметрическая -матрица, компонента которой равна т. е.

Пусть случайный вектор с вектором средних и ковариационной матрицей 2. Пусть, далее, случайный вектор определен как где А — постоянная -матрица, т. е. матрица с постоянными (неслучайными) элементами, постоянный -мерный вектор. Тогда .

В частности, дисперсия всякой линейной комбинации есть Таким образом, всякая ковариационная матрица 2 неотрицательно определена. Более того, 2 положительно определена, если только дисперсия хотя бы одной линейной комбинации а отлична от нуля.

Два следующих важных свойства математических ожиданий таковы. Для любого множества случайных величин с конечными средними

Если случайные величины независимы, то

Характеристические функции и производящие функции моментов. Характеристической функцией (сокращенно х. ф.) случайной величины X называется комплексная функция заданная для каждого равенством

X. ф. существует для любой случайной величины, и никакие два различных распределения не имеют одной и той же х. ф. Таким образом, между существует взаимно однозначное соответствие.

Вот некоторые из важнейших свойств х. ф. Если к независимых случайных величин с х. ф. соответственно и случайная величина определена как

то х. ф. величины задается формулой

Если для случайной величины X с х. ф. существует момент для некоторого натурального то этот момент может быть найден из равенства

где обозначает производную функции порядка вычисленную в точке t = 0.

X. ф. случайного -мерного вектора это комплексная функция принимающая в точке значение

Свойства х. ф. -мерного случайного вектора аналогичны указанным свойствам х. ф. случайной величины. В частности, если у случайного вектора существует математическое ожидание для некоторого набора натуральных чисел то оно может быть вычислено по формуле

Другое полезное свойство х. ф. может быть сформулировано следующим образом. Пусть случайный вектор с х. ф. А — постоянная -матрица, постоянный -мерный вектор и случайный вектор, определенный равенством Тогда вектора удовлетворяет соотношению

Производящей функцией моментов случайной величины X называется вещественная функция задаваемая формулой

Отсюда видно, что производящая функция моментов определена для любого вещественного для которого конечно математическое ожидание!) в (20). Иногда предпочтительнее рассматривать производящие функции моментов, нежели характеристические функции, поскольку первые вещественны, а вторые комплексны. Недостатком же производящих функций является то, что для некоторых случайных величин производящие функции моментов конечны не для всех значений Однако если производящая функция моментов случайной величины X конечна для всех значений из некоторого интервала, содержащего внутри себя точку то существуют все моменты и их значения могут быть определены посредством дифференцирования производящей функции моментов в точке

Аналогично вводятся и многомерные производящие функции моментов, причем справедливы равенства типа (15) и (18).