Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА ОСТАНОВКИ
§ 13.1. Введение
Задачи, которые мы рассматривали в гл. 12, принадлежат к классу задач об оптимальной остановке. В этих задачах статистик последовательно проводит наблюдения и на каждом шаге решает, надо ли ему остановиться и тем самым пойти на определенный риск, связанный с прекращением выбора, или же надо делать очередное наблюдение за некоторую плату. Каждая задача последовательного статистического решения из гл. 12 свелась к нахождению оптимального правила остановки, после того как мы вычислили риски от прекращения наблюдений и апостериорные распределения наблюдений, исходя из заданных параметрического пространства, пространства решений, функции потерь и априорного распределения параметров. Эта редукция стала возможной благодаря уяснению того обстоятельства, что целесообразно принимать только байесовские решения. Ясно, что существует широкий класс задач об оптимальной остановке, где риск от окончания выбора, совместное распределение наблюдений и их стоимость задаются непосредственно, без обращения к конкретной структуре исходной задачи статистического решения. Задачи из этого класса можно охарактеризовать следующим образом. Задана конечная или бесконечная последовательность потенциальных наблюдений с известным совместным распределением. Статистик проводит наблюдения последовательно, должен платить некоторую сумму за наблюдения и может понести определенный ущерб от прекращения выбора. Его задачей, следовательно, является отыскание правила остановки, минимизирующего средний общий риск. В таких ситуациях внание элементов исходной статистической задачи решения ненужно, а иногда и бесполезно.
По этой тематике имеется вводная обзорная работа Бреймана (1964).
В ряде последующих параграфов мы рассмотрим некоторые вадачи специального вида об оптимальной остановке. Затем будет доказано существование оптимального правила остановки для широкого круга задач, включающего в себя задачи последовательного статистического решения из гл. 12. В последних параграфах главы мы изучим основные свойства мартингалов и марковских процессов, которым отвечают два важных класса задач.
В отличие от случая задач статистического решения, теперь нам будет удобнее формулировать задачи в терминах полезности или выигрыша статистика, а не в терминах ущерба или риска. Таким образом, в рассматриваемых здесь задачах оптимальное правило остановки максимизирует средний выигрыш статистика.
Мы начнем с одной специальной задачи об оптимальной остановке, которой в статистической литературе посвящено большое количество работ.
