§ 6.3. Вспомогательный эксперимент

В этом параграфе мы введем еще одно последнее предположение, которое позволит приписать однозначным образом вероятность каждому событию. Задание вероятностного распределения указывает не только, какое из двух событий более правдоподобно, но и насколько именно оно правдоподобнее. Придать понятию относительного правдоподобия осмысленный численный характер лишь на основе предположений, сделанных нами в § 6.2. оказывается не всегда возможным. Рассмотрим, например, эксперимент или, что то же самое, выборочное пространство с двумя возможными исходами Статистик может считать, что но без дополнительных исследований указать численные значения вероятностей этих двух событий, очевидно, невозможно. Он должен в частности, уметь сравнивать относительное правдоподобие событий не только друг с другом, но и с другими событиями, вероятности которых уже установлены.

Следствием этих замечаний, неформально, является необходимость предположения о том, что существует класс 98 событий со следующими двумя свойствами: (1) каждое событие из класса 98 имеет известную вероятность и (2) для каждого числа найдется событие вероятность которого равна Таким образом, для определения вероятности некоторого интересующего его события А статистик находит событие 5 такое, что , и приписывает А ту же вероятность, что и В.

Нужное нам предположение не может быть, однако, сформулировано должным образом с помощью указанного метода, поскольку из него не видно, как статистик определил вероятности событий из класса или как они ему стали известны. Сформулировать это предположение надлежащим образом можно в терминах существования случайной величины специального вида.

Напомним (см. § 3.1), что случайная величина X — это измеримая функция, значения которой определены для всех точек Поэтому для любой случайной величины X и любых интервалов и вещественной прямой события принадлежат -алгебре и в силу предположения либо

Для любого интервала I с концами конечны, а пусть обозначает длину этого интервала. Отметим, что значение не зависит от того, включены или нет точки в интервал

Интервал с концами будем обозначать через если ни а, ни не включаются в интервал; через если точка а включена в интервал, нет; через если точка включена в интервал, а а нет, и через если обе точки включаются в интервал.

Объясник теперь, что в настоящем контексте означает равномерно распределенная случайная величина. Пусть X — случайная величина, для которой при всех Она называется равномерно распределенной на интервале [0, 1], если выполнено следующее условие: для любых двух подинтервалов и интервала [0, 1] тогда и только тогда когда

Отметим, что определение равномерного распределения не предполагает задания вероятностей. Наше последнее, пятое предположение можно сформулировать теперь следующим образом.

Предположение SP5. Существует случайная величина с равномерным распределением на интервале [0, 1].

Так как на предположении SP5 или каком-нибудь аналогичном ему основывается явное построение субъективных вероятностей, следующие замечания по его поводу могут оказаться полезными. Как уже отмечалось, во многих интересных экспериментах

возможно лишь конечное число исходов, не все из которых равновероятны. Ясно, что на таком выборочном пространстве нельзя задать случайную величину с равномерным распределением на Статистик должен в этом случае расширить выборочное пространство за счет рассмотрения наряду с исходным вспомогательного эксперимента, в котором наблюдается значение случайной величины с соответствующим равномерным распределением. Таким образом, каждая точка расширенного выборочного пространства этого составного эксперимента состоит из исхода начального эксперимента и исхода вспомогательного эксперимента. При этом предполагается, что для составного эксперимента по-прежнему выполнены предположения SP1 - SP4 об отношении

Совсем не обязательно проводить в действительности этот вспомогательный эксперимент, не нужна даже возможность его осуществления. Достаточно, чтобы статистик представлял себе идеальный вспомогательный эксперимент, который дает случайную величину X с равномерным распределением, и при этом умел сравнивать относительное правдоподобие интересующего его события А и любого события вида

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Статистик может представлять себе, что значение случайной величины определяется посредством некоторого случайного механизма, например вращающейся стрелки, останавливающейся у произвольной точки на окружности единичной длины. Или же он может представлять себе неоднократно подбрасываемую правильную монету. Предположим, что для любого конечного числа бросаний всякая последовательность из гербов или решеток так же правдоподобна, как и любая другая. Случайную величину с равномерным распределением на интервале [0, 1] можно построить тогда следующим образом.

Пусть для обозначает случайную величину, такую, что если результатом -го бросания является герб, и если решетка. Если случайную величину X определить формулой то, как можно показать (см. Феллер (1967), стр. 53), X равномерно распределена на интервале [0, 1].