§ 2.3. События и вероятность

Если А подмножество выборочного пространства S некоторого эксперимента, то вероятность А (это понятие мы сейчас строго определим) является численной характеристикой шансов на то, что действительный исход эксперимента будет принадлежать множеству А. Основная часть элементарной теории вероятностей посвящена технике вычисления вероятностей некоторых достаточно сложных множеств, интересующих нас по тем или иным

причинам, исходя из вероятностей некоторых более простых множеств. Некоторые подмножества пространства S имеют, однако, такую запутанную структуру, что приписать им какую-либо вероятность представляется невозможным. Предположим, например, что мы стреляем по двумерной цели. Во многих случаях разумно предположить, что вероятность попадания в тот или иной участок цели пропорциональна его площади. Но некоторые подмножества плоскости устроены так нерегулярно, что к ним не может быть применено никакое разумное определение площади. За примерами неизмеримых множеств мы отсылаем читателя к любому из стандартных руководств по теории меры (см., скажем, Халмош (1953) или Колмогоров и Фомин (1968)). Примеры неизмеримых множеств имеются не только для плоскости, но и для вещественной прямой. Поэтому при некоторых экспериментах вероятности приписываются лишь подмножествам пространства представляющим специальный интерес и достаточно правильно устроенным, а не всем подмножествам В практических Экспериментах ограничения такого рода не являются особенно обременительными, поскольку фактически все интересующие нас подмножества устроены настолько регулярно, что им можно приписать вероятность. Действительное вычисление вероятностей некоторых подмножеств может быть весьма затруднительно, однако) эта трудность нас сейчас не касается.

Семейство множеств, каждое из которых является подмножеством в называется -алгеброй, если выполнены следующие три условия:

3. Если бесконечная последовательность множеств из то

Нетрудно показать, что объединение конечного числа множеств из в этом случае тоже принадлежит равно как и пересечение конечного или счетного числа множеств из (упр. 4).

Для каждого эксперимента с выборочным пространством S вероятность будет определена для всех множеств из некоторой подходящим образом выбранной -алгебры Множества из будут называться событиями. В этой книге, также как и в большинстве работ по теории вероятностей, будет предполагаться, что если S содержит лишь конечное или счетное число исходов, то содержит все подмножества в Если S есть -мерное пространство то в качестве будет служить -алгебра борелевских множеств, т. е. наименьшая -алгебра, содержащая все -мерные интервалы.

Для заданного выборочного пространства -алгеброй А

вероятностным распределением (или законом) на называется неотрицательная функция, определенная для всех событий из и обладающая следующими двумя свойствами:

2. Если последовательность непересекающихся событий, то

Тройка называется вероятностным пространством. Некоторые основные свойства распределений вероятностей приведены в упр. 5.

Для всякого события А для обозначения его вероятности повсюду в этой книге будет использоватьбя символ независимо от того, употребляется ли в контексте какой-либо другой символ для рассматриваемого распределения вероятностей.

Независимые события. Два события называются независимыми, если События из некоторого семейства называются независимыми, если для каждой конечной последовательности событий из

Свойство независимости очень важно для задания вероятностей событий. Например, если два или больше событий предполагаются физически независимыми в том смысле, что исход одного из них не влияет на исход других, то математически это выражается тем, что вероятности задаются так, чтобы выполнялась формула (1).

Измеримые функции. Рассмотрим заданное выборочное пространство S с -алгеброй Цусть вещественная функция, определенная для всех точек из и пусть для каждого вещественного числа х через обозначено подмножество задаваемое соотношением

Функция называется измерцмой относительно или А-измери-мой, если множество принадлежит -алгебре при всех

Если функция - измерима, борелевское множество вещественной прямой, то подмножество пространства определяемое равенством

также принадлежит

Хотя понятие измеримой функции весьма важно для общей теории меры и интегрирования, в настоящей книге оно не будет играть особенной роли, и технические вопросы, касающиеся измеримости тех или иных функций, как правило, не будут рассматриваться. Тем не менее для более подготовленных читателей мы помещаем доказательства измеримости некоторых в особенности интересных для нас функций.