ЧАСТЬ III. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНИЯ

Глава 8. ЗАДАЧИ РЕШЕНИЯ

§ 8.1. Элементы задачи решения

Задачи рассмотренного в предыдущей главе типа доставляют примеры задач решения, в которых статистик должен выбрать наиболее предпочтительное распределение из заданного класса вероятностных распределений на множестве доходов . В этой главе мы подробно исследуем структуру широкого класса задач такого типа.

Рассмотрим эксперимент, возможные исходы которого принадлежат пространству Предположим, что статистик, не зная еще исхода эксперимента, должен принять решение, последствия которого зависят от этого исхода. Лусть обозначает пространство всех возможных решений которые может принять статистик, пространство всех возможных доходов которые он может получить в результате решения и исхода эксперимента. Более точно, доход из R, получаемый статистиком при решении и исходе эксперимента мы будем обозначать через а

Будем считать, что выполнены предположения гл. 6, т. е. будем считать заданным вероятностное распределение на пространстве исходов причем значение определено для каждого события А из некоторой -алгебры подмножеств Если обозначает неизвестный результат эксперимента, то для всех

Далее, мы будем считать, что предпочтения статистика среди доходов из R удовлетворяют всем предположениям гл. 7. Другими словами, на множестве R предполагается заданной функция полезности Считается, что функция измерима относительно соответствующей -алгебры подмножеств

Для любого фиксированного решения функция индуцирует вероятностное распределение на множестве доходов При любом значение определяется следующим образом:

Для того чтобы распределение из (1) было корректно определено, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: при каждом множество принадлежит -алгебре Предположим, что это условие выполнено для любого решения Тогда для всякого вероятностного распределения для которого функция интегрируема, среднюю полезность можно вычислить по формуле

Статистик должен выбирать, если это только возможно, решение максимизирующее

В настоящем контексте, когда решение принимается без информации об исходе эксперимента, называется параметромг а множество возможных значений параметрическим пространством или пространством параметров. Далее, в рассматриваемых задачах решения обычно каждому доходу принято сопоставлять не полезность, а «ущерб», имеющий смысл отрицательной полезности. Более точно, для всех исходов и всех решений ущерб определяется равенством

Наряду с термином «ущерб» используется также термин потери.

Из предыдущего видно, что задача решения определяется параметрическим пространством пространством решений и вещественной функцией потерь заданной на произведении При любом число представляет собой ущерб статистика от принятия решения в случае когда значение параметра равно Предполагается, что при всех является -измеримой функцией на пространстве

Пусть данное вероятностное распределение параметра При всяком решении средний ущерб называемый риском, определяется формулой

Мы будем считать, что интеграл в (4) конечен при всех Решения для которых это предположение не выполнено, обычна могут быть исключены из множества Из соотношений (2) и (3) следует, что статистик должен стремиться к выбору решения минимизирующего риск