§ 10.10. Нормальная аппроксимация апостериорного распределения

Предположим тейерь, что априорная п. р. в. W положительна и непрерывна в окрестности Тогда для больших колебания априорной п. р. в. в окрестности незначительны по сравнению с пиком функции правдоподобия в точке Поэтому мы можем считать, что апостериорная п. р. в. W приближенно пропорциональна функции правдоподобия. Другими словами, апостериорная п. р. в. аппроксимируется п. р. в. нормального распределения со средним и мерой точности

В качестве примера рассмотрим случай выборки из распределения Бернулли с неизвестным параметром При каждом заданном значении наблюдения X задается равенством

Дифференцируя, получаем

Отсюда видно, что при Далее, статистики образуют состоятельную последовательность решений уравнения правдоподобия. Следовательно, при больших значениях апостериорная при приближенно нормальна со средним х и мерой точности Так как предполагается, что истинное значение параметра не равно ни 0, ни 1, то с весьма большой вероятностью X не будет равно ни 0, ни 1 при больших значениях

Следует отметить, что теоремой 1 § 10.9 не охватывается случай выборок из равномерного распределения. Для этого распределения не является непрерывной функцией от

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Асимптотическая нормальность апостериорных распределений изучалась Ле Камом (1953, 1956, 1966), Линдли (1961b) и Р. Джонсоном (1967). Энскомб (1964 а, b) исследовал преобразования функции правдоподобия, улучшающие эту нормальную аппроксимацию.