§ 13.12. Равномерно интегрируемые последовательности случайных величин

Говорят, что случайные величины равномерно интегрируемы, если предельное соотношение

выполняется равномерно по Другими словами, случайные величины равномерно интегрируемы, если по всякому можно найти (достаточно большое) число для которого при всех

Можно показать (упр. 22), что если случайные величины равномерно интегрируемы, то существует число такое, что при всех Кроме того, в этом случае для каждого правила остановки из класса выполняется (упр. 23) следующее соотношение:

Наш очередной результат следует из теорем 1 и 2 § 13.11.

Теорема 1. Пусть последовательность образует супермартингал, субмартингал или мартингал относительно последовательности и пусть случайные величины равномерно интегрируемы. Тогда существует для каждого правила остановки из класса Для супермартингала для субмартингала и для мартингала

Простым примером равномерно интегрируемой последовательности случайных величин является последовательность равномерно ограниченных случайных величин, т. е. последовательность, для которой существует число со свойством при Более общим образом (упр. 24), если существует для которого при то величины равномерно интегрируемы.

Согласно теореме 1, если случайные величины образующие мартингал, равномерно интегрируемы, то все правила остановки обладают одинаковым средним выигрышем: Другими словами, у статистика нет правила остановки, лучшего, чем окончание выбора после наблюдения Более того, даже самый неразумный статистик не сможет найти правила остановки, средний выигрыш при котором меньше, чем Из следствия 1 § 13.11 видно, что эти замечания справедливы и для произвольного мартингала, если выбор должен быть окончен самое большее после наблюдений. Однако если случайные величины составляющие мартингал, не являются равномерно интегрируемыми и на число наблюдений не налагается никаких ограничений сверху, то может отличаться от как показывает следующий пример.

ПРИМЕР. Некий игрок заключает серию пари. При первом пари с равными вероятностями он выигрывает или проигрывает 1 денежную единицу. В случае выигрыша первого пари его выигрыш на всех последующих шагах остается равным 1. Если же он проигрывает первое пари, то при втором он с равными вероятностями выигрывает или проигрывает 2 единицы. Таким образом, после двух пари его общий выигрыш равен 1 или —3. В случае когда общий выигрыш после двух пари равен 1, этот выигрыш остается постоянным в течение всей игры. В случае же когда общий выигрыш равен —3, на третьем шаге с равными вероятностями статистик проигрывает или выигрывает 4 денежные единицы, что приводит к общему выигрышу, равному 1 или —7. Процесс продолжается далее аналогичным образом, при проигрышах статистика на следующем шаге возможные выигрыш и проигрыш удваиваются. Итак, когда статистик, наконец, выигрывает какое-нибудь пари, его общий выигрыш равняется 1; и как только его выигрыш стал равным 1, это значение дохода остается далее постоянным.

Формально такой процесс может быть описан следующим образом. Пусть обозначает общий выигрыш статистика после шагов Тогда и для

и

Из (4) и (5) следует, что последовательность образует мартингал.

Рассмотрим теперь правило остановки, при котором выбор заканчивается после того, как впервые наблюдено значение Это действительно правило остановки, так как

и, значит, Для этого правила остановки следовательно, Таким образом, нами построены мартингал и правило остановки, для которых но

В этом примере игрок удваивает ставку на каждом шаге и останавливается, как только получает положительный выигрыш. При указанных условиях игрок не может проиграть, если он располагает неограниченным количеством как денег, так и времени, которые необходимы для того, чтобы иметь возможность бесконечно удваивать ставки. Это остается верным, даже если вероятность выигрыша на каждом шаге меньше т. е. если каждое пари в отдельности для игрока невыгодно. При последовательность выигрышей является супермартингалом.

В основе построенного примера лежит следующий факт: хотя каждая из случайных величин ограничена и последовательность равномерно ограничена сверху значением 1, но эта последовательность не ограничена снизу и в действительности не является равномерно интегрируемой.

Средний выигрыш в случае мартингалов и субмартингалов изучался Дьюбинсом и Фридмэном (1966) и Чжоу (1967).