§ 2.2. Теория множеств

Выборочное пространство S всякого эксперимента удобно трактовать как множество точек, или элементов, причем каждый элемент является возможным исходом эксперимента. В этом параграфе мы кратко напомним стандартные обозначения и терминологию теории множеств; эти обозначедия будут использоваться всюду в дальнейшем.

Утверждение, что точка х принадлежит множеству А (или является элементом множества записывается так: Утверждение, что множество А содержится в множестве В записывается так: 4 с В или это означает, что каждая точка множества А является вместе с тем и элементом множества В. Если то А называется подмножеством множества короче, подмножеством в

Пусть выборочное пространство некоторого эксперимента. Для любого дополнение множества А, обозначаемое через есть множество точек из не принадлежащих А. Множество называется пустим множеством.

Пусть произвольный набор множеств, каждое из которых является подмножеством в Объединение множеств из определяется как множество тех точек из 5, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, входящих в Пересечение множеств, из определяется как множество тех точек из которые принадлежат всем множествам из Объединение множеств обозначается через или через Пересечение множеств записывается как или как или просто как Аналогичные обозначения используются для объединений и пересечений бесконечных последовательностей множеств.

Два множества называются непересекающимися, еслш У них нет общих точек, т. е. если Конечная или

бесконечная последовательность непересекающихся множеств — это последовательность, в которой никакая пара множеств не пересекается.

Рассмотрим некоторое свойство такое, что каждая точка обладает или не обладает свойством Множество А точек, обладающих свойством будет записываться так:

Некоторые важные результаты, вытекающие из данных выше определений, приведены в упр. 2 и 3 в конце главы.

Произведения пространств. Предположим, что суть выборочные пространства экспериментов. Декартово (или прямое) произведение определяется как множество всех упорядоченных наборов где для Произведение является выборочным пространством составного эксперимента, в котором производятся отдельных экспериментов с выборочнъйяи пространствами Аналогично если бесконечная последовательность выборочных пространств, то бесконечное декартово произведение определяется как множество всех бесконечных последовательностей при

Во многих задачах пространства отдельных экспериментов совпадают. Если общее выборочное пространство каждого из экспериментов, то произведение будет обозначаться через Другими словами, есть множество всех упорядоченных наборов где при Аналогично обозначает множество всех бесконечных последовательностей где при

Вещественная прямая и пространство Результаты большинства экспериментов, рассматриваемых в этой книге, представимы в виде вещественных чисел или наборов из таких чисел. Множество всех вещественных чисел, т. е. вещественная прямая, обозначается через Далее, -мерное евклидово пространство всех упорядоченных наборов из вещественных чисел будет записываться как Таким образом,