ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Теория случайных процессов, возникшая в результате построения математических моделей реальных физических процессов, в настоящее время представляет собой наиболее содержательную и более всего используемую в приложениях часть теории вероятностей. Классическим разделом теории случайных процессов является теория стационарных (в широком смысле) процессов, которая дает основу решения многих прикладных задач. Задачи современной науки и техники выдвинули на первый план проблемы, связанные с исследованием случайных процессов, порождаемых последовательностями независимых случайных величин. Это цепи Маркова, марковские процессы со счетным множеством состояний, процессы восстановления, полумарковские процессы. Их роль объясняется в значительной степени тем, что реальные процессы, изучаемые с помощью вероятностных методов, по самой своей природе связаны с чередованием событий случайной продолжительности (например, процесс функционирования резервированной системы с заменой отказавших элементов). Интересно отметить, что и те физические процессы, которые ранее изучались в терминах математического ожидания и корреляционной функции, например флуктуационные процессы в радиотехнических устройствах, теперь в соответствии с новыми задачами рассматриваются с точки зрения случайных последовательностей, отражающих определенные изменения состояний процесса. Из такого рода задач возникает теория потоков однородных событий, порождаемых случайными процессами.

Книга известного ученого С. Карлина, предлагаемая вниманию читателя, посвящена основам теории марковских процессов и процессов, связанных со случайными блужданиями, а также применениям этих процессов к задачам генетики, экологии и массового обслуживания. Наиболее ценное в книге — изложение основных аналитических методов исследования соответствующих процессов. Читатель, стремящийся изучить теорию случайных процессов, найдет здесь аппарат, повседневно применяемый специалистами, а не только собрание готовых результатов. Вместе с тем следует отметить, что рассматриваемые автором классы процессов все же являются достаточно частными; не только в теоретических, но и

в прикладных работах исследуются более общие классы (например, классы процессов, описывающих функционирование систем массового обслуживания). Однако это не является недостатком книги: методы, действие которых продемонстрировано на простых примерах, могут служить читателю и в более сложной ситуации; большую же часть интересующих сейчас прикладников математических задач можно решать и в пределах тех моделей, которые даются в книге.

В конце каждой главы автор поместил задачи; читателю, естественно, следует их решать.

Книга С. Карлина может быть рекомендована математикам, физикам, специалистам по исследованию операций, биологам и вообще всем, желающим войти в проблематику теории случайных процессов и овладеть методами этой теории. При переводе и редактировании устранены некоторые погрешности оригинального издания.

И. Н. Коваленко

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория случайных процессов изучает последовательности событий, управляемых вероятностными законами. Она находит многочисленные приложения в физике, технике, биологии, медицине, психологии и других дисциплинах, а также в различных разделах математики. Назначение этой книги — дать введение многочисленным специальным руководствам по случайным процессам. При ее написании я преследовал три цели: во-первых, дать систематическое вводное изложение некоторых основных разделов теории случайных процессов, во-вторых, привлечь внимание тех, кто занимается чистой математикой, к богатому многообразию приложений теории случайных процессов и, в-третьих, для читателя, интересующегося приложениями, подчеркнуть важность «математических тонкостей», показать, что они зачастую связаны с самой природой вероятностных процессов.

Примеры в этой книге в основном заимствованы из биологии и техники; вместе с тем везде делается акцент на тех вероятностных аспектах, которые важны или представляют математический интерес для более чем одной дисциплины. В книге обсуждается и иллюстрируется ряд понятий и проблем, привлекающих в настоящее время внимание исследователей.

Поскольку в элементарной книге невозможно охватить все основные разделы теории случайных процессов, нам пришлось опустить некоторые важные темы и среди них такие, как стационарные случайные процессы и мартингалы. Не предполагалось, что эта книга будет служить исчерпывающим руководством по вопросам, затронутым в ней. Напротив, она должна рассматриваться прежде всего как промежуточное звено между элементарными курсами теории вероятностей и многими превосходными работами по случайным процессам, высокий математический уровень которых делает их недоступными для читателей, знакомых лишь с основами теории вероятностей.

У читателей предполагается знакомство с началами теории вероятностей в объеме первого тома ставшей уже классической книги Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения». В § 1 гл. 1 мы даем сводку основных свойств случайных величин и функций распределения, а также вводим важнейшие термины.

Материал, набранный мелким шрифтом, при первом чтении можно опустить. В конце каждой главы приводятся задачи, цель которых — разъяснить, а во многих случаях и развить изложенную теорию.

Книгу можно использовать для полугодового или годового курса в зависимости от потребностей. Логическая взаимозависимость глав отражена на схеме, приведенной ниже.

При написании книги я пользовался обширной литературой по случайным процессам. Каждая глава завершается списком работ, в которых читатель найдет дальнейшую информацию и библиографию.

Я благодарен коллегам: профессору Чжун Кай-лаю и профессору Дж. Мак-Грегору (Станфордский университет) за советы и полезные комментарии, профессору Дж. Ламперти (Дартмусский университет), профессору Дж. Киферу (Корнеллский университет) и профессору П. Нею (Висконсинский университет) за конструктивную критику, доктору А. Файнстейну за тщательную проверку значительной части рукописи, а также моим студентам П. Милчу, Б. Сигеру, М. Фелдману и Б. Кришнамурти за их полезные советы и помощь при выборе и составлении задач.

Сэмюэл Карлин

Станфорд, Калифорния

ЛОГИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ГЛАВ

§ 1 гл. 1 можно читать, не вдаваясь в детали. Глава 12 почти не зависит от гл. 11. Первая половина гл. 6 не зависит от гл. 5. Для понимания глав 4—14 не являются необходимыми § 5 и § 6 гл. 3.

Для полугодового курса рекомендуется следующий вариант: § 2 и § 3 гл. 1 с предшествующим кратким изложением материала § 1; гл. 2 полностью; гл. 3, исключая § 5 и, быть может, § 6; гл. 7 без § 3 и, возможно, § 7. Содержание последней части курса составляется по усмотрению лектора, при этом можно использовать гл. 9—12, полностью или частично.