Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1. МНОГОМЕРНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ПУЛССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫПуассоновские процессы были введены в гл. 7; при этом параметр процесса являлся действительным положительным числом и обычно считался временем. Введем теперь вариант пуассоновского процесса, у которого значение параметра определяется мерой множества на плоскости, в трехмерном пространстве или в пространствах более общего вида. Цель данного параграфа — определить некоторые варианты многомерных пуассоновских процессов и описать некоторые примеры этих процессов и их приложения. В гл. 7 пуассоновский процесс
где X — положительная постоянная, интерпретируемая как средняя интенсивность наступления событий. В данном параграфе мы введем постулаты, характеризующие однородный пространственный пуассоновский процесс
Здесь X — положительная постоянная, называемая интенсивностью (или параметром) процесса, (1) (2) Вероятностное распределение величины (3) Если
(4) Выполняется требование
Прежде чем переходить к описательному обсуждению этих аксиом, полезно привести некоторые примеры. (а) В трехмерном пространстве (б) На плоскости Объяснение и интерпретация введенных аксиом вполне очевидны. Постулат (2) утверждает, что Основной целью этого параграфа является доказательство следующей теоремы: Теорема 1.1. Если случайный процесс Доказательство. Рассмотрим произвольную область
Тогда в силу постулата (3)
Но из постулата (1) следует, что событие
Из постулата (2) следует, что
Таким образом, получаем
Далее,
Взяв логарифм от обеих частей (1.2), что допустимо в силу постулата (1), получаем
где использовано разложение
справедливое при
Символ
ограничена при
поскольку при этом
Следовательно, из (1.4) при
В силу постулата (1) левая часть равенства с необходимостью должна быть положительной и конечной. Рассмотрим производящие функции величин
В силу постулатов (2) и (3)
т. е.
Можно записать
где
Следовательно, подставляя вместо
Используем теперь постулат (4), который утверждает, что
Кроме того, выполняется условие
или, что то же самое,
В силу гипотезы (1) имеем
Далее, пользуясь разложением
из формул (1.6), (1.7) и (1.8) получим
Взяв предел при
Из (1.5) и (1.9) следует, что
или
Это выражение является производящей функцией пуассоновского распределения с математическим ожиданием
Но математическое ожидание является неотрицательной аддитивной функцией, зависящей лишь от
Формально последнее утверждение доказывается следующим образом. Пусть
которое следует из постулата (2). Докажем теперь, что
в силу аддитивности
Поскольку
Кроме того, в силу определения свойствами, является линейная функция Из замечания после формулы (1.5) следует, что X — действительный параметр. Подставляя в (1.10) равенство (1.11), получаем
или, что то же самое,
Очевидно, это доказывает равенство (1.1), утверждающее, что вероятностное распределение величины Исследуем дальнейшие свойства распределения случайного процесса, характеризуемого постулатами (1) — (4). Удобно говорить, что событие Покажем теперь, что если процесс
Поскольку
а это и выражает тот факт, что местоположение точки в Этот результат можно обобщить следующим образом. Теорема 1.2. Если Замечание. Утверждение о том, что Доказательство. Пусть
где
поскольку
|
1 |
Оглавление
|