§ 1. МНОГОМЕРНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ПУЛССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Пуассоновские процессы были введены в гл. 7; при этом параметр процесса являлся действительным положительным числом и обычно считался временем. Введем теперь вариант пуассоновского процесса, у которого значение параметра определяется мерой множества на плоскости, в трехмерном пространстве или в пространствах более общего вида. Цель данного параграфа — определить некоторые варианты многомерных пуассоновских процессов и описать некоторые примеры этих процессов и их приложения.

В гл. 7 пуассоновский процесс был введен аксиоматически. Было доказано, что имеет вероятностное распределение

где X — положительная постоянная, интерпретируемая как средняя интенсивность наступления событий. В данном параграфе мы введем постулаты, характеризующие однородный пространственный пуассоновский процесс где параметр 5 является произвольной областью плоскости или пространства, имеющей конечную меру, а обладает вероятностным распределением

Здесь X — положительная постоянная, называемая интенсивностью (или параметром) процесса, площадь или объем области в зависимости от того, является ли область частью плоскости или пространства. Введем следующие постулаты:

(1) принимает лишь неотрицательные целочисленные значения и если

(2) Вероятностное распределение величины зависит только от кроме того, если то

(3) Если (я 1) — непересекающиеся области, то независимые в совокупности случайные величины и

(4) Выполняется требование

Прежде чем переходить к описательному обсуждению этих аксиом, полезно привести некоторые примеры.

(а) В трехмерном пространстве может представлять собой число звезд, расположенных в области

(б) На плоскости может представлять собой число бактерий определенного вида, содержащихся в области

Объяснение и интерпретация введенных аксиом вполне очевидны. Постулат (2) утверждает, что зависит не от вида области 5, а только от ее площади или объема. Такое предположение представляется разумным (см. примеры (а) и (б)). В соответствии с постулатом (3), если использовать терминологию примера (а), количества звезд, содержащихся в непересекающихся областях, являются независимыми случайными величинами, а значение для суммарной области является суммой значений для составляющих областей. По-видимому, предположение о независимости является разумным приближением к реальной ситуации распределения звезд. Постулат (4) достаточно понятен интуитивно и не требует объяснений.

Основной целью этого параграфа является доказательство следующей теоремы:

Теорема 1.1. Если случайный процесс определенный относительно областей евклидова пространства размерности удовлетворяет постулатам (1) — (4), то имеет распределение (1.1).

Доказательство. Рассмотрим произвольную область такую, что Разобьем 5 на непересекающиеся области равной площади (объема), т. е.

Тогда в силу постулата (3)

Но из постулата (1) следует, что событие может произойти тогда и только тогда, когда при всех тогда, используя независимость величин (постулат (3)), получим

Из постулата (2) следует, что зависит только от Следовательно,

Таким образом, получаем

Далее,

Взяв логарифм от обеих частей (1.2), что допустимо в силу постулата (1), получаем

где использовано разложение

справедливое при Очевидно, что поскольку в противном случае было бы откуда Это, однако, невозможно в силу постулата (1), поскольку по предположению Формулу (1.3) можно переписать в виде

Символ имеет обычный смысл, т. е. величина

ограничена при Заметим, что в силу постулата (2) имеем

поскольку при этом . Далее, из постулата (4) следует, что

Следовательно, из (1.4) при получаем

В силу постулата (1) левая часть равенства с необходимостью должна быть положительной и конечной.

Рассмотрим производящие функции величин :

В силу постулатов (2) и (3)

т. е.

Можно записать в виде

где

Следовательно, подставляя вместо это выражение, получим

Используем теперь постулат (4), который утверждает, что

Кроме того, выполняется условие при . В самом деле, мы выше установили (см. (1.6)), что

или, что то же самое,

В силу гипотезы (1) имеем следовательно,

Далее, пользуясь разложением

из формул (1.6), (1.7) и (1.8) получим

Взяв предел при от обеих частей равенства и вновь использовав постулат (4) (в виде соотношения (1.8)), получим

Из (1.5) и (1.9) следует, что

или

Это выражение является производящей функцией пуассоновского распределения с математическим ожиданием

Но математическое ожидание является неотрицательной аддитивной функцией, зависящей лишь от откуда получаем

Формально последнее утверждение доказывается следующим образом. Пусть функция, удовлетворяющая равенству

которое следует из постулата (2). Докажем теперь, что линейная функция. Пусть два непересекающихся множества, таких, что тогда

в силу аддитивности . С другой стороны, в силу постулата (3) имеем

Поскольку может изменяться от 0 до то

Кроме того, в силу определения очевидно, Единственным решением (1.12), обладающим указанными

свойствами, является линейная функция с некоторой постоянной X (см. стр. 205). Равенство (1.11) доказано.

Из замечания после формулы (1.5) следует, что X — действительный параметр. Подставляя в (1.10) равенство (1.11), получаем

или, что то же самое,

Очевидно, это доказывает равенство (1.1), утверждающее, что вероятностное распределение величины является пуассоновским. Доказательство теоремы 1.1 завершено.

Исследуем дальнейшие свойства распределения случайного процесса, характеризуемого постулатами (1) — (4). Удобно говорить, что событие состоит в том, что «в области существуют в точности точек».

Покажем теперь, что если процесс удовлетворяет постулатам т. е. является пуассоновским процессом на плоскости или в пространстве, то при условии, что в области 5 положительной площади существует в точности одна точка (т. е. ), местоположение этой точки является случайным с равномерным распределением в . В самом деле, пусть где не пересекаются. Тогда в силу постулата (3)

Поскольку не пересекаются и Таким образом, имеем

а это и выражает тот факт, что местоположение точки в имеет равномерное распределение.

Этот результат можно обобщить следующим образом.

Теорема 1.2. Если удовлетворяет постулатам (1) — (4), то при условии где местоположения этих точек являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными в

Замечание. Утверждение о том, что точек в независимы и равномерно распределены, будет означать, что для любых непересекающихся областей и любых целых чисел выполняется условие точек лежит в точек лежит в точек лежит в

Доказательство. Пусть

где непересекающиеся области; тогда для любых неотрицательных целых чисел

поскольку